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Semifinale Cesenatico 2015 - Quesito 15

MessaggioInviato: 14/07/2016, 10:16
da IVO16
Ciao A Tutti,
in questa torrida estate mi stavo cimentando in un quesito che ho sbagliato in semifinale 2015 dando come risposta 57 [ risultato 67]

Ecco il testo:
"15. Degno di un ninja
Con un movimento netto delle dita, Mario deve affettare in due parti uno strano frutto a forma di icosaedro regolare.
È necessario che il taglio sia fatto lungo un piano che passa per almeno tre vertici dell’icosaedro. Quanti sono questi
piani?"
Riesco a trovare 12 pentagoni con i vertici coincidenti con i vertici dell'icosaedro, paralleli a due a due, gli spigoli formano coppie di segmenti paralleli e quindi altri 15 piani, ed infine dei pentagoni che a coppie giacciono su piani paralleli, 6 coppie, si ottengono per ogni coppia di pentagoni la possibilità di avere coppie di diagonali parallele quindi altri 5 piani per ogni coppia. 6*5=30, in tutto 30+15+12=57. Chiaramente esistono altri 10 piani, che magari passano solo per 3 punti che non riesco a vedere. Grazie in anticipo. :D :D :D :D

Re: Semifinale Cesenatico 2015 - Quesito 15

MessaggioInviato: 15/07/2016, 12:24
da IVO16
ERRATA CORRIGE DEL POST PRECEDENTE:
Ciao A Tutti,
in questa torrida estate mi stavo cimentando in un quesito che ho sbagliato in semifinale 2015 dando come risposta 47 [ risultato 67]
Ecco il testo:
"15. Degno di un ninja
Con un movimento netto delle dita, Mario deve affettare in due parti uno strano frutto a forma di icosaedro regolare.
È necessario che il taglio sia fatto lungo un piano che passa per almeno tre vertici dell’icosaedro. Quanti sono questi
piani?"
Riesco a trovare 12 pentagoni con i vertici coincidenti con i vertici dell'icosaedro, su piani paralleli a due a due,
gli spigoli formano coppie di segmenti paralleli e quindi altri 15 piani formati da quadrilateri contenenti due spigoli paralleli.
Sapendo che tutti i possibili triangoli ( non essendoci 3 punti ALLINEATI) sono (12 3)=12!/(3!9!)=220,
12 piani, che contengono i pentagoni, eliminano da quel computo ben 12 x 10 triangoli, ovvero 120,
mentre 15 piani, che contengono i quadrilateri, eliminano ben 15x4=60.
In totale ci rimarrebbero solo 12+15+(220-120-60)=67.... Ma i tagli effettuati lungo le facce sono da considerarsi utili? Da qui nasce il numero 67-20=47.
Aiutatemi, spero di essere stato più chiaro... allego nel prossimo post una figura in modo da poter ragionare tutti meglio. Grazie, si accettano pareri di ogni tipo.
ps allego una figura per rendere meglio l'idea COSA NE PENSATE?
icosaedro.png

Re: Semifinale Cesenatico 2015 - Quesito 15

MessaggioInviato: 10/09/2016, 19:36
da emanuelecampeotto
Questo problema lo ricordo bene: nella mia squadra lo risolsi io in gara. Anche le facce andavano contate come piani passanti per tre punti. In particolare, vi sono 4 tipi di piani:
- le facce dell'icosaedro: 20.
- i pentagoni: ce n'é uno per ogni vertice. Quindi 12.
- i rettangoli aurei: ce n'é uno per ogni coppia di spigoli opposti. Quindi 30/2=15.
- i triangoli equilateri del tipo APM. Per contarli si osserva che ce ne sono 5 per ogni vertice e poi bisogna dividere per 3. Quindi, 5*12/3=20.
In totale i piani sono 20+12+15+20=67.

Re: Semifinale Cesenatico 2015 - Quesito 15

MessaggioInviato: 10/09/2016, 20:48
da IVO16
La "difficoltà" era solo nel considerare le facce come parte finita alla fine. grazie.