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Seconda dimostrazione

MessaggioInviato: 18/02/2016, 21:25
da unofficial_
So che in qualche giorno usciranno le soluzioni, ma...
Secondo voi mi tolgono dei punti se ho messo come fatto noto che solo i quadrati perfetti hanno un numero dispari di divisori, e tutti gli altri ne hanno un numero pari?
A ripensarci mi sento scemo, nel dubbio potevo scriverlo :lol: :lol:

Re: Seconda dimostrazione

MessaggioInviato: 18/02/2016, 21:28
da alfios97
Boh secondo me bastava dire quanti sono i divisori di un numero data la scomposizione in fattori primi... Poi è superfluo.

Re: Seconda dimostrazione

MessaggioInviato: 21/02/2016, 10:17
da Toadino2
Ho ripensato adesso ad una soluzione, che mi era venuta in mente anche in gara, trascurata poi per chissà qual dubbio... era pure rapida, ma ho dubbi proprio per questo!

<spoiler>
Ricordiamo di dover dimostrare che in una successione di interi dove ogni elemento è il numero di divisori positivi del precedente, è presente un quadrato perfetto.

Prima dimostriamo che ogni elemento è minore od uguale al precedente.

Ricordiamo che, per il metodo di conteggio dei divisori, se un numero ha un fattore $x^y$, il successivo ne ha uno $y+1$.
Quindi dimostriamo che per ogni $x, y$ vale la disequazione $x^y\ge y+1$. Ricordiamo che $x\ge 2, y>0$.
Osserviamo inoltre che per qualsiasi $y$ varrà $x^y>(x-1)^y$, quindi se dimostreremo che la disequazione vale per $x=2$ sarà dimostrata per ogni $x$.
Scriviamo $2^y\ge y+1$. Passiamo ad un'induzione.
Base induttiva: $y=1 \rightarrow 2\ge 2$, quindi è verificata.
Passo induttivo: $2(y+1)\ge y+2$. Vale a dire $2x2^y\ge y+1+1$. Questo vuol dire che l'equazione sarebbe scorretta solo se raddoppiando si aumentasse di meno di uno (sappiamo già che i due elementi centrali soddisfano), il che presupporrebbe che una potenza di due sia minore di uno, caso impossibile in esponenti interi.
Osserviamo che il primo elemento è uguale al secondo solo se $x=2, y=1$, altrimenti è maggiore.
Questo vuol dire che se tale fattore non occorre mai da solo in numero, ergo esiste un elemento uguale a 2, la serie è decrescente e dunque esisterà un elemento uguale ad 1, quadrato perfetto, e così saranno tutti i suoi successivi.
Se esiste un elemento uguale a due, invece, tutti i successivi saranno due. Tuttavia, se il numero precedente ha due divisori, ed è quindi primo. Se tale primo fosse uguale a due allora anche prima c'è un primo. Tuttavia sappiamo dal testo del problema che il secondo elemento non è due, dunque dev'essere un numero primo o composto. Od almeno deve essercene uno nella successione che non sia il primo elemento (altrimenti il secondo sarebbe uguale a due), ossia nella successione esiste un numero dispari che non è il primo (come sono tutti i primi differenti da due). Poiché solo i quadrati perfetti hanno un numero di divisori positivi dispari, l'elemento precedente tale primo dev'essere un quadrato perfetto.
Quindi in ogni caso ci sarà un quadrato perfetto. $c.v.d.$
</spoiler>

Re: Seconda dimostrazione

MessaggioInviato: 21/02/2016, 13:00
da alfios97
p^a maggiore o uguale a a+1 l'ho dato per scontato, l'uguaglianza si ha per p=2 e a=1, oppure a=0.

Re: Seconda dimostrazione

MessaggioInviato: 21/02/2016, 13:08
da Livex
alfios97 ha scritto:Boh secondo me bastava dire quanti sono i divisori di un numero data la scomposizione in fattori primi... Poi è superfluo.

Comunque alfios ti faccio notare questa frase nelle linee guida di correzione:

"La sola formula per il numero di divisori di un intero positivo, in assenza di deduzioni, non dà diritto ad alcun punto"

Re: Seconda dimostrazione

MessaggioInviato: 21/02/2016, 14:49
da Giulia 400
Livex ha scritto:
alfios97 ha scritto:Boh secondo me bastava dire quanti sono i divisori di un numero data la scomposizione in fattori primi... Poi è superfluo.

Comunque alfios ti faccio notare questa frase nelle linee guida di correzione:

"La sola formula per il numero di divisori di un intero positivo, in assenza di deduzioni, non dà diritto ad alcun punto"


Già chiesto da qualche parte qui ;) http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f= ... 9&start=30

Re: Seconda dimostrazione

MessaggioInviato: 21/02/2016, 15:56
da alfios97
Giulia 400 ha scritto:
Livex ha scritto:
alfios97 ha scritto:Boh secondo me bastava dire quanti sono i divisori di un numero data la scomposizione in fattori primi... Poi è superfluo.

Comunque alfios ti faccio notare questa frase nelle linee guida di correzione:

"La sola formula per il numero di divisori di un intero positivo, in assenza di deduzioni, non dà diritto ad alcun punto"


Già chiesto da qualche parte qui ;) http://www.oliforum.it/viewtopic.php?f= ... 9&start=30


Esatto, è parte integrante della dimostrazione.

Re: Seconda dimostrazione

MessaggioInviato: 11/02/2018, 11:37
da Lollo1204
Scusatemi per aver ritirato fuori questo topic , ma pensavo fosse inutile aprire un ulteriore topic se esiste gia questo :
Io per dimostrare questo problema ho scritto questo :
Testo nascosto:
poichè a2 deve essere diverso da 2 , a1 non puó essere un numero primo ( poichè ha come divisori positvi se stesso e 1 ); per i=1 ,poichè 1 ha come divisore positivo solo se stesso , avremo che ai+1=ai e si avrà una sequenza di 1 . Essendo 1 quadrato perfetto di se stesso , esisteranno infiniti m per cui am=1 ( con ai=1)

So di aver un po’ “sviato” la generalizzazione della soluzione ufficiale , ma quanto avrei preso con questa dimostrazione ?

Re: Seconda dimostrazione

MessaggioInviato: 11/02/2018, 12:46
da 0004POWER
Temo non molto, perché 1 puó essere generato solo da se stesso e quindi tu consideri solo il caso in cui a1 è uguale a 1, e non gli altri infiniti casi.