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QuadraTao

MessaggioInviato: 26/11/2017, 21:32
da Gizeta
Sia [tex]ABCD[/tex] un quadrato e sia [tex]\Gamma[/tex] la circonferenza con centro [tex]B[/tex] passante per [tex]A[/tex], sia inoltre [tex]\ell[/tex] la semicirconferenza interna al quadrato con diametro [tex]\overline{AB}[/tex].
Sia [tex]E[/tex] un punto su [tex]\ell[/tex] e sia [tex]F[/tex] l'intersezione tra [tex]\Gamma[/tex] e il prolungamento di [tex]\overline{BE}[/tex].
Dimostrare che [tex]\angle{DAF}=\angle{FAE}[/tex].

Re: QuadraTao

MessaggioInviato: 28/11/2017, 18:27
da Dudin
Testo nascosto:
1)il triangolo FAB è isoscele in quanto FB=AB = raggio ne segue che l'angolo EFA= FAB
2) l'angolo AEB =90° perché insiste sul diametro AB

ne segue che il triangolo FAE ha un angolo retto (l'angolo FEA)

Tracciamo la parallela ad AB passante per F e sia P il punto di intersezione con AD.
Quindi i triangoli FAE ed FPA:
a) hanno entrambi un angolo retto
b) gli angoli PFA e FAB sono angoli alterni interni quindi congruenti ( rette parallele FP è AB, trasversale AF) quindi per il punto 1 PFA =EFA.

Quindi per differenza di angoli congruenti FAP= FAE.

Re: QuadraTao

MessaggioInviato: 28/11/2017, 19:57
da Gizeta
D'accordo.
Lascio la mia sotto spoiler (mi sono limitato a segnare gli angoli chiave, tutti determinabili facilmente a partire da [tex]\angle{ABF}=2\alpha[/tex]).

Testo nascosto:
Immagine


Qui se ne trova una terza.

Re: QuadraTao

MessaggioInviato: 29/11/2017, 10:13
da Lasker
Se considerate l'omotetia di centro $A$ e fattore $2$ si deduce che l'intersezione $M$ di $AF$ con il semicerchio piccolo è il punto medio di $AF$, ma $\angle AEF$ è banalmente retto perché $\angle AEB$ insiste su un diametro quindi $\triangle AEF$ rettangolo e dunque la sua mediana $EM$ è lunga metà dell'ipotenusa $AF$, si conclude notando che $\angle DAF$ e $\angle FAE$ insistono su corde congruenti ($AM$ e $EM$)