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[L03] Triangoli simili

MessaggioInviato: 01/08/2017, 12:28
da Dudin
Sia ABC un triangolo. Preso un punto P del piano siano P(a), P(b) e P(c) le proiezioni di P sugli assi del triangolo ABC. Dimostrare che il triangolo P(a) P(b) P(c) è simile a ABC

Re: [L03] Triangoli simili

MessaggioInviato: 02/08/2017, 19:00
da CaptainJohnCabot
Sia P(a) la proiezione di P sull'asse del lato opposto ad A, e analogamente per P(b) e P(c). Sia T il punto medio di AC, Q quello di BC, S quello di AB. Sia O il punto di incontro degli assi e si indichino con [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex] e [tex]\gamma[/tex] gli angoli rispettivamente in A, B e C.

Si nota che dato per ipotesi [tex]\angle CTO= \angle CQO=\pi/2[/tex] si ha $CQOT$ ciclico e in particolare:

[tex]\displaystyle \angle P(a) OP(b)= \angle QOT=\pi-\gamma=\alpha+\beta[/tex]

Per [tex]\angle P P(b) O=\angle P P(a) O=\pi/2[/tex] si ha $PP(b)OP(a)$ ciclico e in particolare:

[tex]\displaystyle \angle P(b) PP(a) =\pi-\angle P(a) OP(b) =\gamma[/tex].

Dato [tex]\angle OQB=\angle OSB=\pi/2[/tex] si ha $BQOS$ ciclico e in particolare:

[tex]\displaystyle \angle QOS=\pi-\beta\implies P(c)OP(a) =\beta[/tex]

Analogamente per $ATOS$ ciclico si ha:

[tex]\displaystyle \angle P(b) OP(c) =\alpha[/tex]

Per ipotesi [tex]\angle PP(c) O=\angle PP(a) O=\pi/2[/tex], pertanto $PP(c) OP(a)$ è ciclico e in particolare:

[tex]\displaystyle \angle P(c) PP(a) =\pi-\angle P(c) OP(a) =\pi-\beta=\alpha+\gamma[/tex]

Allora:

[tex]\displaystyle \angle P(b) PP(a) =\gamma\implies \angle P(c) PP(b) =\alpha[/tex].

Pertanto da [tex]\angle P(c) PP(b) =\angle P(c) OP(b) =\alpha[/tex] si ha che $P(c) POP(b)$ è ciclico. In particolare per angoli alla circonferenza circoscritta a $P(c) P(b) OP$ insistenti su $P(c) P$ si ha:

[tex]\displaystyle \angle P(c) P(b)P=\angle P(c) OP[/tex]

Analogamente dalla sopra dimostrata ciclicità di $PP(b) OP(a)$ si ottiene:

[tex]\displaystyle \angle PP(b) P(a) =\angle POP(a)[/tex]

Ma allora:
\begin{equation}
\displaystyle \angle P(c) P(b) P(a)
=\angle P(c) P(b) P+\angle PP(b) P(a) =\angle P(c) OP+\angle POP(a) =\angle P(c) OP(a) =\beta
\end{equation}
Per [tex]\angle P(c) P(b) P(a)=\beta[/tex] e [tex]\angle P(c) PP(a) =\pi-\beta=\alpha+\beta[/tex] si ha che $P(c) P(b) P(a)P$ è ciclico. In particolare per angoli alla circonferenza circoscritta insistenti su $P(c) P$, si ha:

[tex]\displaystyle \angle P(c) P(b) P=\angle PP(a)P(c)[/tex]

Analogamente, per $PP(b) OP(a)$ ciclico come dimostrato sopra, si ottiene:

[tex]\displaystyle \angle P(b) PO=P(b)P(a) O[/tex]

Si nota che:

[tex]\displaystyle \angle P(c) P(a) P(b) =\angle PP(a) O-(\angle PP(a) P(c) +\angle P(b) P(a) O) =\pi/2-(\angle P(b) PO+\angle POP(c))[/tex]

Ma dalla somma degli angoli di [tex]\Delta PP(b) O[/tex] si ottiene:

[tex]\displaystyle \angle P(b) PO+\angle POP(c) =\pi/2-\alpha[/tex]

Sostituendo si ha quindi:
\begin{equation}
\displaystyle \angle P(c) P(a) P(b) =\alpha
\end{equation}
Ma allora si ha che [tex]\Delta ABC[/tex] e [tex]\Delta P(a) P(b)
P(c)[/tex] hanno due angoli congruenti e pertanto sono simili Q. E. D.

Re: [L03] Triangoli simili

MessaggioInviato: 02/08/2017, 21:15
da Dudin
Hai indicato due punti con la stessa lettera (P)

Re: [L03] Triangoli simili

MessaggioInviato: 03/08/2017, 11:14
da CaptainJohnCabot
Ah scusa, avevo riscritto il procedimento senza la figura sotto mano e non me n'ero accorto. Ora correggo.