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Cesenatico 1992 1

MessaggioInviato: 25/02/2016, 22:27
da Rho33
Diremo che una retta interseca propriamente un cubo se passa per un punto interno al cubo. Dato un cubo suddiviso in [tex]27[/tex] cubetti uguali, si dica qual è il massimo numero di cubetti che una retta può intersecare propriamente.

P.S: Di questo problema non ho ancora una soluzione ortodossa, diciamo che è abbastanza sperimentale :lol:

Re: Cesenatico 1992 1

MessaggioInviato: 29/03/2016, 21:19
da carlotheboss
Peraltro bello il 1992: l'esercizio 1 è il più difficile di tutti e sei (almeno a mio parere ahah)

Re: Cesenatico 1992 1

MessaggioInviato: 29/03/2016, 23:33
da mr96
Il risultato numerico è
Testo nascosto:
7?

Se non sbaglio c'era in un campigotto biennio di quest'anno una roba simile... Ed era il problema che valeva di più :lol:

Re: Cesenatico 1992 1

MessaggioInviato: 30/03/2016, 9:47
da Lasker
E la soluzione era più o meno "si vede subito che la risposta è: ..." :lol:

Re: Cesenatico 1992 1

MessaggioInviato: 30/03/2016, 22:43
da Rho33
Sì la risposta è quella, come confermano i modellini di carta da me costruiti tempo fa :lol: Potreste postare questa fantomatica soluzione? Io oltre a ragionare un minimo sui $6$ piani differenti non ho concluso nulla di concreto :oops:

Re: Cesenatico 1992 1

MessaggioInviato: 30/03/2016, 23:39
da mr96
Rho33 ha scritto:Sì la risposta è quella, come confermano i modellini di carta da me costruiti tempo fa :lol: Potreste postare questa fantomatica soluzione? Io oltre a ragionare un minimo sui $6$ piani differenti non ho concluso nulla di concreto :oops:

Sono un po' incasinato con le lezioni, nel weekend se ho tempo provo a formalizzarla decentemente, io farei una roba simile, prova su questa strada se vuoi
Testo nascosto:
Se hai un cubo di volume [tex]n^3[/tex] si vede abbastanza facilmente che il massimo è per forza [tex]\leq 3n-2[/tex], in sostanza ne passi [tex]n[/tex] per ognuna delle tre direzioni, ma quello di "entrata" della retta è comune a tutte le direzioni, quindi l'hai contato $3$ volte. Detto ciò ti basta provare a costruire un esempio dove questo accade...

Re: Cesenatico 1992 1

MessaggioInviato: 01/04/2016, 7:55
da emanuelecampeotto
Testo nascosto:
Associamo ad ognuno dei 27 cubetti la terna di coordinate intere [tex](x,y,z)[/tex] con [tex]0<x,y,z<4[/tex]. Sia [tex]C_1,...,C_n[/tex] la sequenza di cubetti attraversati dalla retta, dove [tex]C_1[/tex] ha somma delle coordinate minote o uguale rispetto a tutti gli altri [tex]C_i[/tex]. Si osserva che quando la retta passa da un certo [tex]C_k[/tex] a [tex]C_(k+1)[/tex] allora fa aumentare di 1 una, due oppure tre delle coordinate (in particolare, rispettivamente, se la retta passa per una faccia, uno spigolo, un vertice in comune ai due cubetti). Quindi la successione degli [tex]n[/tex] cubetti [tex]C_i[/tex]può essere messa in biezione con la successione di terne [tex](x_i,y_i,z_i)[/tex] dove [tex]x_i,y_i,z_i[/tex] sono successioni debolmente crescenti. Ora si osserva che il massimo numero di cubetti attraversati si ha quando ad ogni passaggio fra due cubetti contigui si aumenta di 1 solo una coordinata e si passa dalla terna [tex](1,1,1)[/tex] alla terna [tex](3,3,3)[/tex]. Ed é facile vedere che in questo caso i passaggi sono 6 (cioé due per ogni coordinata). Visto che il massimo numero di passaggi fra cubetti é 6, allora il massimo numero di cubetti é [tex]6+1=7[/tex].
D'altra parte si verifica che esiste una retta siffatta, per esempio una retta passante per: [tex](1,1,1),(2,1,1),(2,2,1),(2,2,2),(3,2,2),(3,3,2),(3,3,3)[/tex]