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Aiuto esercizio

MessaggioInviato: 09/09/2018, 14:10
da Lorenzoschiav
Salve,
un esercizio chiede di trovare p(2018), sapendo che p è di sesto grado, che p(x) è maggiore uguale ad 1, che p(2014)=p(2015)=p(2016)=1 e che p(2017)=2.
io sono arrivato a dire che p(x) = q(x)+1 dove q(x) = (x-2014)(x-2015)(x-2016)h(x) e che h(2017)=1/6 ma sinceramente non so come continuare e concludere.
Idee?

Re: Aiuto esercizio

MessaggioInviato: 09/09/2018, 17:13
da Gizeta
[tex]q(x)=p(x)-1[/tex] è tale che [tex]deg(q)=deg(p)[/tex] e [tex]q(x) \ge 0[/tex] per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex], inoltre

[tex]q(x)=(x-2014)(x-2015)(x-2016)g(x)[/tex]

dove [tex]deg(g)=3[/tex]


Ora sia [tex]\epsilon>0[/tex], allora possiamo provare a considerare cosa succede valutando, ad esempio, [tex]q[/tex] in [tex]2014-\epsilon[/tex] e [tex]2014+\epsilon[/tex]

[tex]q(2014-\epsilon)=-\epsilon(\epsilon+1)(\epsilon+2)g(2014-\epsilon) \ge 0[/tex]
[tex]q(2014-\epsilon)=\epsilon(\epsilon+1)(\epsilon+2)g(2014-\epsilon) \ge 0[/tex]

ossia [tex]g(2014-\epsilon) \le 0[/tex] e [tex]g(2014+\epsilon) \ge 0[/tex], e ancora posso trovare [tex]\epsilon[/tex] tanto piccolo che sia [tex]g(2014-\epsilon)<0[/tex] e [tex]g(2014+\epsilon)>0[/tex], e quindi nell'intervallo [tex](2014-\epsilon, 2014+\epsilon)[/tex] è presente almeno una radice di [tex]g[/tex] [teorema degli zeri]; consideriamo la successione [tex]\displaystyle n \mapsto \left (2014-\frac{\epsilon}{2^n},2014+\frac{\epsilon}{2^n} \right )[/tex]: per quanto detto prima esiste [tex]m_1[/tex] tale che in [tex]\left (2014-\frac{\epsilon}{2^{m_1}},2014+\frac{\epsilon}{2^{m_1}} \right )[/tex] è presente una radice di [tex]g[/tex], inoltre per ogni [tex]m_1[/tex] possibile esiste un [tex]m_2>m_1[/tex] tale che anche in [tex]\left (2014-\frac{\epsilon}{2^{m_2}},2014+\frac{\epsilon}{2^{m_2}} \right )[/tex] sia presente una radice di [tex]g[/tex], quindi necessariamente si ha che [tex]2014[/tex] è radice di [tex]g[/tex].

Analogamente possiamo concludere che si ha anche [tex]g(2015)=g(2016)=0[/tex], e quindi

[tex]q(x)=C[(x-2014)(x-2015)(x-2016)]^2[/tex]

[tex]p(x)=C[(x-2014)(x-2015)(x-2016)]^2+1[/tex]


Con [tex]p(2017)=2[/tex] ricaviamo [tex]\displaystyle C=\frac{1}{36}[/tex], quindi

[tex]\displaystyle p(x)=\frac{1}{36}[(x-2014)(x-2015)(x-2016)]^2+1[/tex], da cui [tex]\displaystyle \boxed{p(2018)=17}[/tex]

Re: Aiuto esercizio

MessaggioInviato: 09/09/2018, 18:22
da Lorenzoschiav
capito
grazie mille
:D