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SNS 2013 - 6 (punto 3)

MessaggioInviato: 12/08/2017, 12:38
da Essor2
Il testo completo dice: ''Si consideri il polinomio [tex]p(x,y)=\frac{(x+y)^{2}+3x+y} {2}[/tex]

Nel seguito chiameremo 'numeri naturali' i numeri interi non negativi (incluso quindi anche lo zero). Denoteremo con [tex]\mathbb{N}[/tex] l'insieme dei numeri naturali.
1) Si dimostri che se [tex]{x}\in\mathbb{N}[/tex] e [tex]{y}\in\mathbb{N}[/tex] allora anche [tex]{p(x,y)}\in\mathbb{N}[/tex].
2) Si determino tutte le coppie [tex]{(x,y)}\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}[/tex] tali che p(x,y)=2013.
3) Si dimostri che la funzione p:[tex]\mathbb{N^{2}}\to\mathbb{N}[/tex] che associa a (x,y) il numero naturale p(x,y) è invertibile.''
Mi servirebbe una mano per il terzo punto.
Come faccio a dimostrare che la funzione è invertibile? I have no idea

Re: SNS 2013 - 6 (punto 3)

MessaggioInviato: 12/08/2017, 13:31
da Lasker
Fissa $x+y=n$ e vedi come si comporta il tutto al variare di $x$, ti verrà un comportamento molto semplice di quell'espressione, inoltre $f(n+1,0)-f(n,n)=1$ (che se controlli cosa vuol dire è proprio ciò che desideri per la tesi). Tra l'altro il punto $3$ aiuta assai per il punto $2$ (anche se pure io vedendo questo esercizio la prima volta ho risolto il 2 indipendentemente con conti macchinosi :mrgreen: )

Re: SNS 2013 - 6 (punto 3)

MessaggioInviato: 19/08/2017, 20:17
da Lo_09
Per il punto 3 si potrebbe anche inutilizzare la condizione di invertibilità di una funziona: ti basta quindi dimostrare che è biettiva e hai risolto