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Sviluppi in serie di Taylor di funzioni composte

MessaggioInviato: 21/10/2016, 17:57
da polarized
Ciao ragazzi, ho da poco cominciato a studiare gli sviluppi di Taylor e oggi mi sono incastrato tutto il pomeriggio su questo problema apparentemente semplice.

Voglio trovare lo sviluppo in serie al secondo ordine di $$ f(x)=\frac{1}{1+x^2} $$ Nel punto $x_0=1$
Ora, calcolando le derivate e applicando meccanicamente la formula si ottiene (confermato da Wolframlalpha)
$$ f(x)=\frac 1 2 -\frac 1 2 (x-1) +\frac 1 4 (x-1)^2+o((x-1)^2) $$

Quando ho visto questo esercizio io però ho pensato di sfruttare lo sviluppo delle funzioni composte vedendo $\frac{1}{1+x^2}=h(g(x))$ con $h(x)=\frac{1}{1+x}$ e $g(x)=x^2$. Per far ciò dovrei sviluppare $g(x)$ in $x_0=1$ e $f(y)$ in $y_0=g(x_0)$. Però $g(x)$ è già "sviluppata" e non mi resta altro da fare che sviluppare $f(x)$:
$$ \frac{1}{1+y}=\frac 1 2-\frac 1 4 (y-1) + o(y-1) $$
Già fermandosi a questo punto si vede che sostituendo $y=x^2$ si ottiene una cosa diversa dalla soluzione (volendo si verifica che $o(x^2-2x+1)=o(x^2-1)$) e non riesco a spiegarmi il perchè :( :(

Re: Sviluppi in serie di Taylor di funzioni composte

MessaggioInviato: 13/12/2016, 17:09
da Gizeta
Arrivo un po' in ritardo ( :oops: ), ma:

[tex]\displaystyle f(x):=\frac{1}{1+x}[/tex]

allora vogliamo sviluppare [tex]f(x^2)[/tex] al secondo ordine attorno a [tex]x=1[/tex], ossia, ponendo [tex]x=1+h[/tex], vogliamo sviluppare [tex]f(x^2)=f((1+h)^2)=f(1+(2h+h^2))[/tex], quindi

[tex]\displaystyle f(1+(2h+h^2))=f(1)+\frac{f^{(1)}(1)}{1!}(2h+h^2)+\frac{f^{(2)}(1)}{2!}(2h+h)^2 +o((2h+h^2)^2)=[/tex]

[tex]\displaystyle =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(2(x-1)+(x-1)^2)+\frac{1}{8}(2(x-1)+(x-1)^2)^2+o((2h+h^2)^2)[/tex]

in particolare, notiamo che [tex]o((2h+h^2)^2)=o(4h^2+4h^3+h^4)=o(4h^2)+o(4h^3)+o(h^4)=o(h^2)+o(h^2)+o(h^2)=o(h^2)=o((x-1)^2)[/tex] per varie proprietà seguenti dalla definizione di o-piccolo, inoltre nello sviluppo del terzo addendo si ha [tex]\displaystyle \frac{1}{8}(4(x-1)^3+(x-1)^4)=o((x-1)^2)[/tex] per ragioni simili, quindi

[tex]\displaystyle \frac{1}{1+x^2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(2(x-1)+(x-1)^2)+\frac{1}{4}(x-1)^2+o((x-1)^2)=[/tex]

[tex]\displaystyle = \boxed{\frac 1 2 -\frac 1 2 (x-1) +\frac 1 4 (x-1)^2+o((x-1)^2)}[/tex]

:D