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Sequenza!

MessaggioInviato: 07/08/2016, 19:45
da Gizeta
Sia [tex]d \in \mathbb{R}[/tex].
Per ogni intero [tex]m \ge 0[/tex], definiamo la successione [tex]\displaystyle \{a_m(j)\}_{j \in \mathbb{N}}[/tex] mediante le due condizioni

[tex]\displaystyle a_m(0)=\frac{d}{2^m}[/tex]

[tex]a_m(j+1)=(a_m(j))^2+2a_m(j)[/tex]


Calcolare [tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{a_n(n)}[/tex].

Re: Sequenza!

MessaggioInviato: 21/08/2018, 18:22
da Gizeta
Tento di rendere questo topic parzialmente utile.

Per induzione si può verificare che [tex]\displaystyle a_n(n)=\left (1+\frac{d}{2^n} \right )^{2^n}[/tex]

Vogliamo calcolarne il limite per [tex]n[/tex] tendente a [tex]\infty[/tex].
Il caso [tex]d=0[/tex] è banale, dunque nel seguito è [tex]d \not = 0[/tex].

È noto che [tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}{\left (1+\frac{1}{n}\right )^n}=e[/tex];
consideriamo la funzione [tex]\displaystyle f := \left \{x \mapsto \left(1+\frac{1}{x}\right)^x:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R^+}\right \}[/tex].

È possibile dimostrare che per ogni [tex]x \in (n, n+1)[/tex] è valida la catena di diseguaglianze

[tex]\displaystyle \frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right )^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}=\left (1+\frac{1}{n+1}\right)^n<f(x)<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\left(1+\frac{1}{n}\right)[/tex]

e quindi per il teorema del confronto si ha [tex]\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty}f(x) = e[/tex]
conseguentemente la sottosuccessione convergente [tex]\displaystyle f \left (\frac{2^n}{d} \right )[/tex] tende anch'essa ad [tex]e[/tex] per [tex]n \rightarrow \infty[/tex] (in tal caso, infatti, [tex]\displaystyle \frac{2^n}{d} \rightarrow \infty)[/tex]; finalmente


[tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\left [ \left(1+\frac{d}{2^n}\right)^{2^n}-1 \right ]=\lim_{n \rightarrow \infty}{\left[\left(\left(1+\frac{d}{2^n}\right)^\frac{2^n}{d} \right)^d- 1\right]}=\boxed{e^d-1}[/tex]



Commento: il problema è un semplice esercizio per chiunque abbia almeno nozioni basilari di analisi matematica; quantunque, chi non si trovi nella condizione di sopra potrebbe trarre giovamento dal dimostrare tutti i fatti presentati nella soluzione.