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vero o falso su una funzione continua

MessaggioInviato: 17/04/2020, 8:37
da vagnani
come dice gia il titolo, qualcuno puo stabilire vero/falso e il perchè del seguente quesito:

A) Ogni funzione continua f : [0,1] → R verifica le seguenti proprietà:
(stabilire la veridicità/falsità delle seguenti affermazioni.)
(1) Esiste 0 ≤ t ≤ 1 tale che int. def. da 0 a t di f(x)dx= int. def. da t a 1 di f(x)dx
(2) La funzione f ammette almeno un punto di minimo.
(3) Esiste 0 < t < 1 tale che f(t) = 1/2.
(4) Esiste 0 < t < 1 tale che f(t) = (f(0)+f(1))/2.


grazie in anticipo

Re: vero o falso su una funzione continua

MessaggioInviato: 17/04/2020, 20:20
da afullo
(1) Vero, per il teorema dei valori intermedi sulla funzione integrale, che varia da 0 ad un certo valore I, e quindi assume necessariamente almeno una volta il valore I/2.
(2) Vero, per il teorema di Weierstrass.
(3) Falso, basta prendere una funzione costante diversa da 1/2.
(4) Falso, basta prendere la parabola passante per (0,1), (0.5,0), (1,1), che esclusi gli estremi è sempre strettamente minore della media dei valori assunti in essi, cioè 1.