Viareggio 1 1988

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Viareggio 1 1988

Messaggioda Rho33 » 24/02/2016, 19:22

Alberto e Barbara giocano al seguente gioco: Alberto lancia una moneta [tex]n[/tex] volte, e Barbara lo fa [tex]n+1[/tex] volte. Il giocatore che ottiene piu volte testa vince; o in caso di parità, vince Alberto. Trovare i valori di [tex]n[/tex] per cui il gioco è equo.

Testo nascosto:
Sia [tex]p[/tex] la probabilità che all'n-esimo lancio, Alberto sia in vantaggio; per una evidente simmetria, [tex]p[/tex] è anche la probabilità che Barbara sia in vantaggio all'n-esimo lancio. Allora la probabilità che uno dei due sia in vantaggio all'n-esimo lancio è, per la regola della somma, pari a: [tex]p+p=2p[/tex]; la probabilità che invece siano in pareggio all'n-esimo lancio è la complementare, ovvero [tex]q=1-2p[/tex]. Allora la probabilità che Barbara vinca sarà data da:

[tex]p_1=[/tex] probabilità che siano in pareggio all'n-esimo lancio e poi barbara faccia testa all'n+1-esimo, ovvero [tex]p_1=q \cdot \dfrac {1}{2}[/tex]

[tex]p_2=[/tex]probabilità che Barbara sia in vantaggio all'n-esimo lancio, tanto poi vince comunque, indipendentemente dall'esito dell'ultimo, ovvero [tex]p_2=p \cdot 1=p[/tex]

La probabilità totale sarà la somma delle probabilità, ovvero [tex]P_{TOT}=p_1+p_2=\dfrac {1}{2}-p+p=\dfrac {1}{2}[/tex]. Allora il gioco è sempre equo.
Rho33
 
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