Vecchio sssup

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Vecchio sssup

Messaggioda Bomberino98 » 28/06/2017, 16:49

Determinare tutte le coppie (x, y) di numeri interi tali che:
[tex]x^4 + 3x^2 y^2 + 9 y^4 = (12)^2006[/tex]
E' 12 elevato 2006, non so perchè però non mi prendeva l'esponente :cry:
Mi servirebbe un aiuto :D
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Re: Vecchio sssup

Messaggioda Federico II » 28/06/2017, 16:56

Codice: Seleziona tutto
12^{2006}
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Re: Vecchio sssup

Messaggioda Lasker » 28/06/2017, 16:59

Testo nascosto:
"Discesa infinita" (ok non proprio, ma puoi eliminarti tutti i fattori $3$ con calma, e poi se guardi modulo $4$ dovrebbe succedere una cosa simile perché ti vengono $x$ e $y$ pari--->semplifichi fattori dal $12^{2006}$)
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

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Re: Vecchio sssup

Messaggioda Bomberino98 » 28/06/2017, 17:53

OK ci ero arrivato però non ero sicuro si potesse concludere :roll:
Grazie mille :D
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Re: Vecchio sssup

Messaggioda Bomberino98 » 28/06/2017, 18:09

Una volta che ho semplificato i fattori come faccio a determinare tutte le coppie??
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Re: Vecchio sssup

Messaggioda Vinciii » 29/06/2017, 14:14

Inizio a scrivere la prima parte perchè non ho molto tempo adesso e dopo magari completo:
Testo nascosto:
Abbiamo:$$x^4+3x^2y^2+9y^4=3^{2006}\cdot 4^{2006}$$ e dato che $3$ è primo abbiamo che $3\mid x^4 \Rightarrow 3\mid x$, da cui $x=3x_1$. Sostituiamo ed otteniamo $$3^4{x_1}^4+3^3{x_1}^2y^2+3^2y^4=3^{2006}\cdot 4^{2006}$$ che dividendo per $3^2$ diventa $$3^2{x_1}^4+3{x_1}^2y^2+y^4=3^{2004}\cdot 4^{2006}$$ da cui sappiamo che $3\mid y$ e $y=3y_1$, che sostituito e dividendo di nuovo per $3^2$ diventa $${x_1}^4+3{x_1}^2{y_1}^2+3^2{y_1}^4=3^{2002}\cdot 4^{2006}$$ Iterando questo processo altre $500$ volte (ogni volta dividiamo per $3^4$ in totale)
otteniamo $$x_{501}^4+3x_{501}^2y_{501}^2+3^2y_{501}^4=3^{2}\cdot 4^{2006}$$ con $x=3^{501}x_{501}$ e $y=3^{501}y_{501}$ da cui avendo che $3\mid x_{501}$, ponendo $x_{501}=3x_{502}$ e dividendo per $3^2$ otteniamo:$$3^2{x_{502}}^4+3{x_{502}}^2y_{501}^2+y_{501}^4=4^{2006}$$ Ora, le potenze quarte e i quadrati modulo $4$ possono essere o $0$ o $1$ (facile da verificare) e $3^2=9\equiv 1 \pmod 4$ quindi se uno solo tra ${x_{502}}^2$ e ${y_{501}}^2$ è congruo a $1 \pmod 4$ il $LHS$ è congruo a $1 \pmod 4$ e non ci sono soluzioni, mentre se lo sono entrambi è congruo a $5 \pmod 4$ ed ancora non ci sono soluzioni.
Perciò sono entrambi multipli di $4$, e quindi $x_{502}$ e $y_{501}$ sono entrambi multipli di $2$.
Perdonatemi eventuali typo.
Ultima modifica di Vinciii il 29/06/2017, 15:00, modificato 1 volta in totale.
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Re: Vecchio sssup

Messaggioda Vinciii » 29/06/2017, 14:41

Ecco la seconda parte:
Testo nascosto:
Per mia comodità chiamo $x_{502}=a$ e $y_{501}=b$. Abbiamo $9a^4+3a^2b^2+b^4=4^{2006}$ e $a$ e $b$ multipli di $2$.Poniamo $a=2a_1$ e $b=2b_1$ e dividiamo tutto per $4^2$ per ottenere $$9{a_1}^4+3{a_1}^2{b_1}^2+{b_1}^4=4^{2004}$$ Itero questo processo per $1002$ volte (ogni volta divido per $4^2$) ed alla fine avrò che per $k=\frac{a}{2^{1003}}$ e $h=\frac{b}{2^{1003}}$:$$9k^4+3k^2h^2+h^4=1$$ Dato che a sinistra abbiamo solo quantità positive o nulle, l'unica soluzione possibile si ha quando $k=0$ e $h=\pm 1$,che ci dà $x=0$e $y=\pm 3^{501}\cdot 2^{1003}$
Ultima modifica di Vinciii il 29/06/2017, 15:14, modificato 2 volte in totale.
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Re: Vecchio sssup

Messaggioda Lasker » 29/06/2017, 14:50

Mi sembra che deduci $4|a$ mentre in quel modo puoi dedurre solo $2|a$ (e lo stesso con $b$)
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

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Re: Vecchio sssup

Messaggioda Vinciii » 29/06/2017, 15:13

Ho corretto, grazie mille. Fammi sapere se ora è giusta :)
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Re: Vecchio sssup

Messaggioda Lasker » 29/06/2017, 16:09

Questo mi sembra proprio come farei io, non so se sia giusto però, non conoscevo il problema :lol:
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