Una potenza di 2

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Una potenza di 2

Messaggioda Drago » 04/04/2013, 15:03

Risolvere negli interi positivi $(x+y)(xy+1)=2^z$
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Re: Una potenza di 2

Messaggioda iTz_CaBe_95 » 04/04/2013, 16:59

$x=2^n-1$ e $y=2^n+1$ e viceversa
$n<z$
Correggetemi se sbaglio...
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Re: Una potenza di 2

Messaggioda Livex » 04/04/2013, 17:13

iTz_CaBe_95 ha scritto:$x=2^n-1$ e $y=2^n+1$ e viceversa
$n<z$
Correggetemi se sbaglio...


non basta...
cosi trovi alcune soluzioni ma non tutte,prendi per esempio [tex]\displaystyle x=1,y=15[/tex]
prova a farti i primi casi..
potrebbero saltar fuori relazioni molto interessanti,da li potrai risalire a ritroso alla dimostrazione...
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Re: Una potenza di 2

Messaggioda Drago » 04/04/2013, 17:32

iTz_CaBe_95 ha scritto:$x=2^n-1$ e $y=2^n+1$ e viceversa
$n<z$
Correggetemi se sbaglio...

Questa è una classe di soluzioni... :)
Non so cosa vuoi dire con $n<z$, ma in realtà vale $z=3n+1$

Ah, dovresti dimostrare che le soluzioni che trovi sono tutte e sole ;)
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Re: Una potenza di 2

Messaggioda Livex » 04/04/2013, 18:02

Non so cosa vuoi dire con $n<z$, ma in realtà vale $z=3n+1$


Sei sicuro che valga solo per $z=3n+1$ perche sostituendo [tex]\displaystyle x=1, y=15[/tex],si ottiene [tex]\displaystyle 2^8[/tex]
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Re: Una potenza di 2

Messaggioda iTz_CaBe_95 » 04/04/2013, 20:49

Ok, mi sa che ho sbagliato tutto con questo esercizio:) ahah
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Re: Una potenza di 2

Messaggioda Drago » 05/04/2013, 13:05

wall98 ha scritto:
Non so cosa vuoi dire con $n<z$, ma in realtà vale $z=3n+1$


Sei sicuro che valga solo per $z=3n+1$ perche sostituendo [tex]\displaystyle x=1, y=15[/tex],si ottiene [tex]\displaystyle 2^8[/tex]

Io mi riferivo alla classe di soluzioni che ha trovato lui, ovvero $(x,y,z)=(2^n\pm1,2^n\mp1,3n+1)$ ;) (non aveva però esplicitato la $z$, ed è questo che volevo fargli notare)
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Re: Una potenza di 2

Messaggioda Livex » 05/04/2013, 17:47

prima della dimostrazione qualche premessa:
mi scuso per quanto scrivero,ma non sono riuscito ad accorciare la dimostrazione
numerero alcuni punti perche altrimenti sara difficile richiamarli quando opportuno

intanto dimostriamo che l'equazione [tex]\displaystyle (x+y)(xy+1)=2^{z}[/tex] ha soluzione se e solo se [tex]\displaystyle z\ge2[/tex]
si sostituisce [tex]\displaystyle x=y=1[/tex] cosi il risultato è il minimo possibile,cioè [tex]\displaystyle z=2[/tex]
poi si puo dimostrare banalmente con le congruenze e non che x e y sono dispari,ma non lo scrivo per non complicare ancora di piu la dimostrazione

[tex]\displaystyle 1-[/tex] poi si enunciano alcune classi di soluzioni, una consiste nel prendere [tex]\displaystyle x=2^{k}-1, y=1[/tex] e viceversa perche l'equazione è simmetrica rispetto x e y,dunque si va sostituire
[tex]\displaystyle (2^{k}-1+1)(2^{k}-1*1 +1)[/tex]
[tex]\displaystyle (2^{k})(2^{k})=2^{2k}[/tex]
quindi questo vale per ogni [tex]\displaystyle z[/tex] pari
[tex]\displaystyle 2-[/tex] poi si dimostra per [tex]\displaystyle x=2^{k}-1,y=2^{k}+1[/tex]e viceversa, per farlo si va ancora a sostituire
[tex]\displaystyle (2^{k}-1+2^{k}+1) [(2^{k}-1)(2^{k}+1)+1][/tex]
[tex]\displaystyle (2^{k+1})(2^{2k})=2^{3k+1}[/tex]
quindi funziona anche per [tex]\displaystyle z=3k+1[/tex]

ora bisogna dimostrare l'unicita delle soluzioni trovate:
io ho fatto cosi..
[tex]\displaystyle (x+y)(xy+1)=2^{z}[/tex]
sappiamo che [tex]\displaystyle z\ge2[/tex], dunque possiamo dividere per 4 ottenendo sempre un intero e abbiamo
[tex]\displaystyle (\frac{x+y}{2})(\frac{xy+1}{2}=2^{z-2}[/tex]
al minimo [tex]\displaystyle x+y=2[/tex] sostituendo x=y=1,deve essere una potenza di 2 pero
ma [tex]\displaystyle \frac{x+y}{2}[/tex] è la media aritmetica di x e y,oltretutto è intera perche è una potenza di 2
WLOG poniamo [tex]\displaystyle y\ge x[/tex]
quindi [tex]\displaystyle y-u=2^{k},x+u=2^{k}[/tex] dove k è l'esponente di 2 perche avevamo detto che era una potenza di 2 e [tex]\displaystyle u[/tex] è un intero positivo generico
da cui si deduce che [tex]\displaystyle y=2^{k}-u,x=2^{k}+u[/tex]

ora bisogna andare a dimostrare che esistono soluzioni solo nella forma [tex]\displaystyle (2^{k}-u,2^{k}+u)[/tex] e per quali valori di U questo è possibile
dato che l'equazione è simmetrica,WLOG sostituiamo non badando a chi è x e chi è y
[tex]\displaystyle (2^{k}-u+2^{k}+u) [(2^{k}+u)(2^{k}-u)+1][/tex].. si semplifica e si ottiene
[tex]\displaystyle 2^{k+1}(2^{2k}-u^{2}+1)[/tex]
[tex]\displaystyle 2^{k+1}[2^{2k}-(u^{2}-1)][/tex]
[tex]\displaystyle 2^{k+1}[2^{2k}-(u-1)(u+1)][/tex]

ora bisogna capire quando la cosa nelle parentesi quadre è una potenza di 2,sicuramente quando [tex]\displaystyle u=1[/tex],perche sottrae 0,e questo giustifica il punto [tex]\displaystyle 2[/tex]
poi nei casi in cui [tex]\displaystyle u^{2}-1[/tex] non è nullo,cioè quando [tex]\displaystyle u=2^{k}-1[/tex],infatti sostituendo [tex]\displaystyle u[/tex] nell'ultima espressione si ottiene [tex]\displaystyle 2^{k+1}*2^{k+1}[/tex](in realta non so bene come dimostrarlo che si puo fare solo in questo modo,a breve mettero la dimostrazione) e questo dimostra il punto [tex]\displaystyle 1[/tex]

se ho scritto male o non ho specificato qualcosa ditemelo
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Re: Una potenza di 2

Messaggioda Drago » 05/04/2013, 18:27

A parte che hai invertito i due segni (ma questo non importa molto), quello che hai fatto va bene :)
Ora però devi risolvere $2^a=2^b-u^2+1$ (oltre alla soluzione $u=1$). Come fai?
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Re: Una potenza di 2

Messaggioda Livex » 05/04/2013, 19:39

sinceramente non ci riesco,sara che sono stanco,o che sara difficile o che magari non lo è
continuo a scomporre cosi [tex]\displaystyle 2^{a}=2^{2k}-(u-1)(u+1)[/tex] e non riesco a togliermi l'idea che [tex]\displaystyle (u-1)(u+1)[/tex] deve essere una potenza di 2,e trovo a ripetizione [tex]\displaystyle u=3[/tex] quando so che la soluzione è generalizzata e che sto sbagliando tutto,non riesco piu a ragionare... per oggi basta matematica
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