Un problema di massimo

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Un problema di massimo

Messaggioda ercolete » 30/04/2013, 8:24

Sia $x$ un numero di due cifre. Sia $f(x)$ la somma del numero $x$ e delle sue cifre diminuita del prodotto delle sue cifre. Trova il valore di $x$ per cui $f(x)$ è massimo.
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Re: Un problema di massimo

Messaggioda Livex » 30/04/2013, 14:40

è un po contosa come soluzione,ma è veloce da fare....
abbiamo in questo caso il nostro intero positivo(suppongo sia cosi,in caso abbia capito male chiedo scusa) in notazione posizionale decimale [tex]AB[/tex] dove A e B sono le cifre
[tex]x=10A+B[/tex]
[tex]f(x)=10A+B+A+B-AB[/tex] (non in notazione posizionale..)
ora dobbiamo massimizzare [tex]f(x)[/tex]
[tex]f(x)=11A+2B-AB=11A+(2-A)B[/tex] con [tex]1 \le A \le 9[/tex] e [tex]0 \le B \le 9[/tex]
se [tex]A=1[/tex]
si ottiene [tex]11+B \le 20[/tex]

se [tex]A=2[/tex]
si ottiene [tex]22[/tex]

se [tex]A=3[/tex]
si ottiene [tex]33-B \le 33[/tex]

se [tex]A=4[/tex]
si ottiene [tex]44-2B \le 44[/tex]
eccetera...

si vede da [tex]f(x)=11A+(2-A)B[/tex] quando [tex]A>2[/tex] che [tex]B=0[/tex] per non eseguire la sottrazione,ma abbiamo visto che con [tex]A>2[/tex] si riescono ad ottenere valori piu elevati,quindi B=0
ora bisogna massimizzare [tex]11A[/tex],si massimizza con A=9
da cui [tex]x=90[/tex] ed [tex]f(x)=99[/tex]
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Re: Un problema di massimo

Messaggioda Drago » 01/05/2013, 18:21

Ok, quindi in pratica tu controlli $a=1,2$ e poi dici che per $a>2$ allora $f(x)\le11a\le99$, giusto?
Un'altra soluzione:
$f(x)=22+(a-2)(11-b)\le22+(9-2)(11-0)=99$, dove nella disuguaglianza si è usato $a\le9$ e $-b\le0$ :)

Ora un piccolo e facile bonus: qual è il minimo?
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Re: Un problema di massimo

Messaggioda Livex » 02/05/2013, 11:34

Drago ha scritto:Ok, quindi in pratica tu controlli $a=1,2$ e poi dici che per $a>2$ allora $f(x)\le11a\le99$, giusto?

Piu o meno...io controllo [tex]a=1,2[/tex] poi [tex]a=3[/tex] ,poi vedo che per [tex]a>2[/tex] [tex]b=0[/tex] per massimizzare,e siccome [tex]a=3[/tex] è potenzialmente maggiore, [tex]b=0[/tex] , infine massimizzo [tex]11a[/tex]

Domanda su quella fattorizzazione, come ti è venuta in mente????
sei andato a fattorizzare con ruffini prendendo [tex]a=x[/tex] e [tex]b[/tex] come parte letterale oppure è stata una cosa intuitiva??
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Re: Un problema di massimo

Messaggioda Drago » 02/05/2013, 17:59

Boh, è la solita fattorizzazione: $xy+kx+hy+kh=(x+h)(y+k)$ ;) (di solito, come in questo caso, bisogna aggiustare il termine $kh$)
Dopo un paio di volte che la vedi è quasi immediata, ed è veramente molto utile! :)
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Re: Un problema di massimo

Messaggioda Livex » 02/05/2013, 18:14

Non avevo mai visto una fattorizzazione del genere,di solito io per fattorizzare(a meno che non sia diff. di quadrati,qudrato di un binomio,cubo di un binomio) uso sempre ruffini,mi trovo le radici del polinomio che a volte è roba molto brutta anche con piu lettere....Comincio a pensare che devo tornare a studiare la scomposizione di polinomi :|
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