Un polinomio con quattro valori coincidenti

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Un polinomio con quattro valori coincidenti

Messaggioda Drago » 28/03/2013, 22:33

Siano $a_1,a_2,a_3,a_4$ quattro numeri interi distinti e $p(x)$ un polinomio a coefficienti interi tale che $$p(a_1)=p(a_2)=p(a_3)=p(a_4)=1 \ (\ast)$$.

Esistono un polinomio $p(x)$ che soddisfa la condizione $(\ast)$ ed un intero $n$ tale che $p(n) = 2012$?
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Re: Un polinomio con quattro valori coincidenti

Messaggioda Livex » 28/03/2013, 22:55

provo ma penso che avrò bisogno di aiuto..
se [tex]p(n)=2012[/tex] allora [tex]p(x)=(x-n) k(x)+2012[/tex]
poi provo a sostituire alla x uno dei quattro valori iniziali e ottengo
[tex]p(a1)=(a1-n) k(a1)+2012[/tex]
sappiamo che [tex]p(a1)=1[/tex] quindi
[tex]1=(a1-n) k(a1) +2012[/tex]
di conseguenza
[tex]-2011=(a1-n) k(a1)[/tex]
sappiamo che 2011 è un numero primo(chi è che non conosce la scomposizione in fattori degli anni di gara :D )
quindi o [tex](a1-n)=1[/tex] e [tex]k(a1)=-2011[/tex]oppure tutti gli altri casi
sappiamo che [tex]a1,a2,a3,a4[/tex]sono interi distinti tra loro,quindi la loro differenza,intendo [tex](a1-n)[/tex] non puo essere uguale ma puo assumere ben 4 valori diversi,ora come faccio,se gli interi fossero stati 5 avrei concluso che era impossibile poiche almeno due degli interi coincidevano e quindi non rispettavano la condizione iniziale,qualche hint?
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Re: Un polinomio con quattro valori coincidenti

Messaggioda Drago » 28/03/2013, 23:00

uhm, più o meno l'idea generale c'è! ;)
Però invece di dire qualcosa delle radici di $p(x)-2012$, pensa ad un altro polinomio di cui conosci le radici (e anche tante)! :D
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Re: Un polinomio con quattro valori coincidenti

Messaggioda Livex » 28/03/2013, 23:15

intendi il polinomio nullo?scusa è che di teoria ne so pochissima e non riesco a capire queste finezze... comunque forse mi è venuta in mente un altro tipo di dimostrazione,eccola qui..
sappiamo che [tex]p(a1)=1[/tex] quindi per ruffini possiamo scrivere [tex]p(x)=(x-a1) k(x)+1[/tex] ora si mette dentro [tex]n[/tex]
dunque [tex]p(n)=(n-a1) k(n) +1[/tex] ma [tex]p(n)=2012[/tex] di conseguenza [tex]2012=(n-a1) k(n) +1[/tex],poi [tex]2011=(n-a1)k(n)[/tex]
dato che 2011 è un numero primo stessa considerazione di prima,solo che stavolta [tex]k(n)[/tex] è sempre lo stesso,segue logicamente che esiste uno e uno solo
[tex](n-ak)[/tex] che verifica tale relazione,puoi postare l'altra soluzione?magari anche piu in la poiche vorrei vedere quest'altro metodo
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Re: Un polinomio con quattro valori coincidenti

Messaggioda Drago » 28/03/2013, 23:21

$k(n)$ varia a seconda di quale $a_i$ prendi :)
Il mio suggerimento è prendere il polinomio $p(x)-1$ ;)
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Re: Un polinomio con quattro valori coincidenti

Messaggioda Livex » 28/03/2013, 23:40

.
Ultima modifica di Livex il 28/03/2013, 23:45, modificato 1 volta in totale.
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Re: Un polinomio con quattro valori coincidenti

Messaggioda Livex » 28/03/2013, 23:42

wall98 ha scritto:ok,
sia [tex]q(x)=p(x)-1[/tex]
[tex]\displaystyle a1,a2,a3,a4[/tex] sono radici del polinomio [tex]q(x)[/tex]
quindi [tex]q(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a3)(x-a4) k(x)[/tex]
2011=(n-a1)(n-a2)(n-a3)(n-a4) k(n)
2011 è primo,quindi tutti i fattori [tex](n-ai)[/tex] devono dividere un primo,possono essere quindi solo 1,-1,2011,-2011 e [tex]k(n)[/tex] si puo anche togliere tanto se non è possibile per un polinomio di quarto grado,figuriamoci per uno superiore,infine poiche gli [tex]ai[/tex] sono distinti sono appunto tutti e soli
ma purtroppo per noi [tex]1 * -1*2011*-2011[/tex]non fa 2011,quindi se non esistono soluzioni per [tex]q(x)[/tex] non c'è ne sono neanche per [tex]q(x)+1[/tex]
cosi dovrebbe andare..
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Re: Un polinomio con quattro valori coincidenti

Messaggioda Drago » 29/03/2013, 9:48

Ok, giusto ;)
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Re: Un polinomio con quattro valori coincidenti

Messaggioda Livex » 29/03/2013, 9:54

prima di lasciar morire questa discussione,posso farti una domanda?la dimostrazione cosi come è scritta quanti punti darebbe in gara(provinciale intendo)è da 15 oppure da 4-5,o lasciato qualche intuitivamente di troppo?devo formalizzarla meglio?
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Re: Un polinomio con quattro valori coincidenti

Messaggioda Drago » 29/03/2013, 10:13

Direi che potrebbe valere anche 15 :)
Forse dovresti dire mezza parola in più su perché puoi "togliere" $k(n)$ e magari dare un po' più di ordine... ;)
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