Un conteggio ... aritmetico

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Un conteggio ... aritmetico

Messaggioda ercolete » 30/04/2013, 8:27

Dire per quanti dei numeri
\[1^2,2^2,\dots,1999^2\]
la cifra delle decine è un numero dispari.
ercolete
 
Messaggi: 12
Iscritto il: 24/04/2013, 9:09

Re: Un conteggio ... aritmetico

Messaggioda Lasker » 30/04/2013, 16:24

Credo di avere una risposta, ma non so se la dimostrazione sia corretta... :?

Vediamo prima di tutto come funziona per i primi 10 quadrati:

[tex]1^2=01 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]2^2=04 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]3^2=09 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]4^2=16 \longrightarrow dispari[/tex]
[tex]5^2=25 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]6^2=36 \longrightarrow dispari[/tex]
[tex]7^2=49 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]8^2=64 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]9^2=81 \longrightarrow pari[/tex]
[tex]10^2=100 \longrightarrow pari[/tex]

Ma se [tex]n^2[/tex] ha la cifra delle decine pari o dispari, [tex](n\pm 10)^2[/tex] conserva la parità di questa cifra, perché
[tex](n\pm10)^2=n^2\pm20n+100[/tex] , 100 e 20 non influiscono sulla parità (in quanto sono entrambi un numero pari moltiplicato per 10, e [tex]p\pm p=p[/tex] , [tex]p\pm d=d[/tex], [tex]d\pm d=p[/tex] )
Visto che questa è una doppia implicazione, allora i numeri con la cifra delle decine pari sono tutti e soli
[tex]n_1 \equiv 4 \pmod{10}[/tex]
[tex]n_2 \equiv 6 \pmod{10}[/tex]
Di questi ce ne sono due per ogni decina, quindi la risposta dovrebbe essere [tex]\displaystyle \frac {2000}{10}*2=400[/tex]
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 834
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00


Torna a Teoria dei Numeri

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 3 ospiti