Uguaglianza fra cose

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

Uguaglianza fra cose

Messaggioda matpro98 » 10/07/2017, 23:08

Dimostrare che $\dfrac {3}{4}(a^2+b^2+c^2)=m_a^2+m_b^2+m_c^2$, dove $m_a $ è la mediana relativa ad $a$ e cicliche. Possibilmente non usate brutalmente e bovinamente la formula della lunghezza della mediana, che ridurrebbe il tutto a semplici passaggi algebrici
matpro98
 
Messaggi: 22
Iscritto il: 24/04/2017, 11:36

Re: Uguaglianza fra cose

Messaggioda Vinciii » 11/07/2017, 6:42

Provo:
Testo nascosto:
Sia $M$ il punto medio di $a$, se ivertici del triangolo si chiamano $A$,$B$ e $C$, chiamiamo $\angle{AMC}=\alpha$ e di conseguenza avremo $\angle{AMB}=\pi -\alpha$. Applicando il teorema di Carnot a $\triangle{AMC}$ otteniamo $${m_a}^2+\frac{a^2}{4}-am_a\cos \alpha=b^2$$ e applicandolo a $\triangle{AMB}$ e ricordando che $\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$ otteniamo $${m_a}^2+\frac{a^2}{4}+am_a\cos \alpha=c^2$$ Sommandole e dividendo tutto per due otteniamo $${m_a}^2+\frac{a^2}{4}=\frac{b^2}{2}+\frac{c^2}{2}$$ Le sue cicliche saranno vere per lo stesso motivo:$${m_b}^2+\frac{b^2}{4}=\frac{a^2}{2}+\frac{c^2}{2} \\ {m_c}^2+\frac{c^2}{4}=\frac{a^2}{2}+\frac{b^2}{2}$$ Sommando queste tre si ottiene la tesi.
Ultima modifica di Vinciii il 11/07/2017, 14:46, modificato 1 volta in totale.
Vinciii
 
Messaggi: 67
Iscritto il: 17/02/2015, 14:14

Re: Uguaglianza fra cose

Messaggioda matpro98 » 11/07/2017, 14:38

C'è solo un segno meno dimenticato, per il resto va bene
matpro98
 
Messaggi: 22
Iscritto il: 24/04/2017, 11:36

Re: Uguaglianza fra cose

Messaggioda Vinciii » 11/07/2017, 14:46

Correggo subito xD
Vinciii
 
Messaggi: 67
Iscritto il: 17/02/2015, 14:14

Re: Uguaglianza fra cose

Messaggioda Lasker » 11/07/2017, 15:16

però è sostanzialmente "usare la formula della mediana" :roll:
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 758
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Uguaglianza fra cose

Messaggioda matpro98 » 11/07/2017, 16:57

C'è un minimo di lavoro in più, piuttosto che dire "sostituisco e fine"
matpro98
 
Messaggi: 22
Iscritto il: 24/04/2017, 11:36

Re: Uguaglianza fra cose

Messaggioda Vinciii » 11/07/2017, 17:09

Lasker ha scritto:però è sostanzialmente "usare la formula della mediana" :roll:
Prometto che mi impegnerò a trovare una soluzione diversa e più originale :mrgreen:
Vinciii
 
Messaggi: 67
Iscritto il: 17/02/2015, 14:14

Re: Uguaglianza fra cose

Messaggioda Lasker » 21/07/2017, 20:13

Sistema di vettori centrato in $O$.
Geometricamente è evidente che valgono $\vec{m_a}=\frac{\vec{AB}+\vec{AC}}{2}=\frac{\vec{B}+\vec{C}-2\vec{A}}{2}$ e cicliche, osserviamo che magicamente $\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c}=\vec{0}$ e quindi
$$0=|\vec{0}|^2=|(\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c})|^2=(\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c})\cdot(\vec{m_a}+\vec{m_b}+\vec{m_c})=m_a^2+m_b^2+m_c^2+2(\vec{m_a}\cdot \vec{m_{b}}+\vec{m_b}\cdot \vec{m_{c}}+\vec{m_c}\cdot \vec{m_{a}})$$
Basta valutare i prodotti scalari al RHS, ricordando $\vec{A}\cdot\vec{A}=R^2$ e cicliche:
$$\sum_{cyc}2\vec{m_a}\cdot \vec{m_b}=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(\vec{B}+\vec{C}-2\vec{A})\cdot(\vec{C}+\vec{A}-2\vec{B})=\frac{1}{2}\sum_{cyc}(5\vec{A}\cdot\vec{B}-\vec{B}\cdot \vec{C}-\vec{C}\cdot \vec{A}-3R^2)=\frac{3}{2}(\vec{A}\cdot\vec{B}+\vec{B}\cdot\vec{C}+\vec{C}\cdot\vec{A}-3R^2)$$
Valutando ora infine $\vec{A}\cdot\vec{B}$ e cicliche otteniamo
$$\vec{A}\cdot\vec{B}=R^2\cos(2\gamma)=R^2(2\cos^2(\gamma)-1)=R^2(1-2\sin^2(\gamma))=R^2\left(1-\frac{c^2}{4R^2}\right)=R^2-\frac{c^2}{2}$$
Notiamo con piacere che $R^2$ si semplifica e sostituendo nella prima equazione si ottiene la tesi
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 758
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Uguaglianza fra cose

Messaggioda matpro98 » 21/07/2017, 20:24

Bello!
matpro98
 
Messaggi: 22
Iscritto il: 24/04/2017, 11:36

Re: Uguaglianza fra cose

Messaggioda [ProfMateMatto] » 22/07/2017, 10:32

Scusate non ho capito una cosa: in
A2+b2+c2 (i due sono quadrati) devo usare l'undicesimo livello del triangolo di Tartaglia, ma viene una cosa lunghissima! Come faccio a trasformarlo in una cosa più breve?
[ProfMateMatto]
 
Messaggi: 14
Iscritto il: 21/07/2017, 18:02


Torna a Geometria

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite