Tutti dentro $S$ L05

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Tutti dentro $S$ L05

Messaggioda Rho33 » 07/08/2016, 19:28

Propongo un esercizio che ho trovato molto bello, ci ho pensato quasi tutto il pomeriggio prima di avere l'idea giusta ( :oops: ), ma garantisco che appena si trova, diventa quasi banale!

Una sequenza di interi positivi $a_1, \dots , a_n$ ha la proprietà che ogni termine è una potenza di $2$ distinta dalle altre. Consideriamo il seguente insieme:

$$ \displaystyle S= \left \{ \left ( \prod _{k=i}^{j}a_k \right ) -1 \ \ \mid \ \ i \leq j \right \}$$

Supponiamo che $S$ non abbia nessun elemento multiplo di $n+2$. Determinare tutti gli $n$ per cui sia valida questa proprietà di $S$.

P.S. Sul livello sinceramente non saprei, di certo non è impossibile ma nemmeno troppo facile ( :oops: ).
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Re: Tutti dentro $S$ L05

Messaggioda MattialaRana » 25/10/2016, 22:08

Scusami ma non mi è chiara una cosa... stai chiedendo di trovare tutti i valori di n per cui esiste almeno una successione di quel tipo per cui n+2 non divide nessun elemento di S??
Oppure stai chiedendo di trovare tutti i valori di n per cui, data una qualsiasi successione di quel tipo, n+2 non divide nessun elemento di S??
Perché, se così fosse, scegliendo a(h)=1 (scusa ma non so come scrivere l'indice), avremmo che, per i=j=h, 0 appartiene ad S e quindi per nessun valore di n si avrebbe che n+2 è coprimo
con ogni elemento di S (ogni intero divide 0).
Perdonami se sbaglio o se ho frainteso il testo... :roll:
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