Trovare tutte le coppie di primi

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Trovare tutte le coppie di primi

Messaggioda Nadal01 » 15/03/2017, 10:45

Qualcuno mi aiuta a risolvere questo problema? Grazie

Trovare tutte le coppie di primi [tex](p, q)[/tex] tali che

$$ p^3 - q^7 = p - q $$
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Re: Trovare tutte le coppie di primi

Messaggioda Nadal01 » 16/03/2017, 15:51

Nessun aiuto? :cry:
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Re: Trovare tutte le coppie di primi

Messaggioda Giovanni98 » 17/03/2017, 13:35

Se $q=2$ hai $p^3-p=126$ che non ha soluzioni in $\mathbb{P}$. Quindi $q$ è dispari $\Rightarrow p$ dispari.

Ora hai $p(p^2-1) = q(q-1)(q+1)(q^2+q+1)(q^2-q+1)$ da cui $$p \leq \max(q,\frac{q+1}{2},\frac{q-1}{2},q^2+q+1,q^2-q+1) = q^2+q+1$$

Ma quindi $p^3-p \leq (q^2+q+1)^3 - (q^2+q+1) < (q^2+q+1)^3 < (2q^2)^3 = 8q^6 < q^7-q$ per ogni $q \ge 11$ quindi bisogna provare $q=3,5,7$. L'unica coppia che si trova è $q=3$ e $p=13$.
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Re: Trovare tutte le coppie di primi

Messaggioda Nadal01 » 17/03/2017, 15:48

bella soluzione, grazie.
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Re: Trovare tutte le coppie di primi

Messaggioda parisgermain98 » 17/03/2017, 16:37

Giovanni98 ha scritto:Se $q=2$ hai $p^3-p=126$ che non ha soluzioni in $\mathbb{P}$. Quindi $q$ è dispari $\Rightarrow p$ dispari.

Ora hai $p(p^2-1) = q(q-1)(q+1)(q^2+q+1)(q^2-q+1)$ da cui $$p \leq \max(q,\frac{q+1}{2},\frac{q-1}{2},q^2+q+1,q^2-q+1) = q^2+q+1$$

Ma quindi $p^3-p \leq (q^2+q+1)^3 - (q^2+q+1) < (q^2+q+1)^3 < (2q^2)^3 = 8q^6 < q^7-q$ per ogni $q \ge 11$ quindi bisogna provare $q=3,5,7$. L'unica coppia che si trova è $q=3$ e $p=13$.

potresti spiegare meglio perchè p è minore del massimo fra quei 5 fattori?
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