Triennio: se x + 1/x=5,x^3+1/x^3=?

Esercizi commentate dei Giochi di Archimede del 27-11-2014

Triennio: se x + 1/x=5,x^3+1/x^3=?

Messaggioda Ghoul » 27/11/2014, 20:37

Salve a tutti.
Purtroppo ancora non sono riuscito a capire bene questo quesito.
Nella prova non l'ho risolto e ho lasciato la risposta vuota,ma finita la prova ho provato a risolverlo con calma e ho ottenuto 110 che dovrebbe essere corretto.
Tuttavia per risolverlo mi sono calcolato x nella prima equazione e ho sostituito nella seconda il che mi sembra un po troppo complesso(dal punto di vista dei calcoli).
Perciò volevo saperi se si poteva fare in altri modi più brevi e semplici.

Grazie a tutti.
Ghoul
 
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Re: Triennio: se x + 1/x=5,x^3+1/x^3=?

Messaggioda alfios97 » 27/11/2014, 20:39

Bisogna elevare al cubo x+1/x.
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Re: Triennio: se x + 1/x=5,x^3+1/x^3=?

Messaggioda leocap96 » 27/11/2014, 20:46

Tu sai che x^3 + 1/x^3 è la somma di due cubi, quindi è equivalente a ( x + 1/x ) ( x^2 - 1 + 1/x^2). Inoltre sai che ( x + 1/x )^2 = x^2 + 2 + 1/x^2. Quindi possiamo scrivere la scomposizione della somma dei due cubi anche in questo modo: (x + 1/x ) ( ( x + 1/x )^2 - 3 ) = 5 ( 5^2 - 3 ) = 110.
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Re: Triennio: se x + 1/x=5,x^3+1/x^3=?

Messaggioda alfios97 » 27/11/2014, 20:50

Oddio, io ho semplicemente elevato alla 3 ottenendo :
x^3 + 1/x^3 +3 (x+1/x) = 125
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Re: Triennio: se x + 1/x=5,x^3+1/x^3=?

Messaggioda afullo » 27/11/2014, 20:51

In alternativa:

[tex]\begin{eqnarray*}
\left( x + \frac{1}{x} \right)^3
& = & x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x^2} \\
& = & x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x} \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) \\
& = & x^3 + \frac{1}{x^3} + 3 \left( x + \frac{1}{x} \right)
\end{eqnarray*}[/tex]

e dunque:

[tex]\displaystyle x^3 + \frac{1}{x^3} = 5^3 - 3 \cdot 5 = 110[/tex]
afullo
 
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