Triennio: Es. Della circonferenza tangente

Esercizi commentate dei Giochi di Archimede del 27-11-2014

Triennio: Es. Della circonferenza tangente

Messaggioda Livex » 27/11/2014, 16:56

"Sia ABC un triangolo rettangolo i cui cateti misurano AC=2 e bc=1. Consideriamo la circonferenza tangente all'ipotenusa e alle rette che contengono i cateti, esterna al triangolo: quanto misura il raggio?"
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Re: Triennio: Es. Della circonferenza tangente

Messaggioda Livex » 27/11/2014, 17:20

Allora, per dare vita a questo post: io ho messo (3+radice di 5)/2 ma non ne sono troppo certo...l'ho fatta per esclusione, voi cosa avete fatto?
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Re: Triennio: Es. Della circonferenza tangente

Messaggioda Morets » 27/11/2014, 17:22

Io ho messo 3 meno radice di cinque fratto 2 misurando con il righello e facendo le proporzioni ahah.. sono abbastanza sicuro però gli altri erano abbastanza diversi.
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Re: Triennio: Es. Della circonferenza tangente

Messaggioda lorenzocollodi » 27/11/2014, 17:24

Livex ha scritto:Allora, per dare vita a questo post: io ho messo (3+radice di 5)/2 ma non ne sono troppo certo...l'ho fatta per esclusione, voi cosa avete fatto?

Era così però non so come spiegartelo senza un disegno
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Re: Triennio: Es. Della circonferenza tangente

Messaggioda AGallese » 27/11/2014, 17:24

Con una tediosa soluzione analitica... $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
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Re: Triennio: Es. Della circonferenza tangente

Messaggioda Morets » 27/11/2014, 17:26

ahh analitica.. non penso mai all'analitica quando faccio le olimpiadi ahaha va be.. però penso ci debba essere un metodo rigoroso anche senza geometria analitica
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Re: Triennio: Es. Della circonferenza tangente

Messaggioda Livex » 27/11/2014, 17:30

Perfetto :D

Io con un po' di mezzedimostrazioni e magheggi avevo dimostrato che potevano essere solo 2 opzioni, ma una delle due, radice di 5, non poteva essere ad occhio perchè era l'ipotenusa del triangolo
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Re: Triennio: Es. Della circonferenza tangente

Messaggioda AGallese » 27/11/2014, 17:31

Impostando C come origine del piano cartesiano, la circonferenza è tangente ai due assi e quindi nella forma
$ (x-r)^2+(y-r)^2=r^2 $. $AB$ giace sulla retta $x=2-2y$, metto retta e circonferenza a sistema e pongo il delta dell'equazione risolvente nullo... dopo un po' di calcoli ottengo $r=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$, che sono il raggio della circonferenza iscritta (il minore) e il raggio che il problema chiede (il maggiore).
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Re: Triennio: Es. Della circonferenza tangente

Messaggioda DamianoY » 27/11/2014, 22:36

Io l' ho trovato piuttosto immediato (ricordavo la formula) :lol:
[tex]A=\left( p-a\right) r_{a}[/tex] e quindi avevamo [tex]1=\left( \dfrac {3+\sqrt {5}}{2}-\sqrt {5}\right) r_{a}[/tex] ovvero [tex]r_{a}=\dfrac {3+\sqrt {5}}{2}[/tex]

È la formula del' area di un triangolo in funzione del raggio della circonferenza exinscritta!
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Re: Triennio: Es. Della circonferenza tangente

Messaggioda Olimpiadi » 30/11/2014, 14:51

Io ho considerato i due raggi perpendicolari alle rette nei punti di tangenza e le rette stesse. L'area del quadrato è dunque r^2. Ho congiunto il centro con i due vertici del triangolo. I primi due triangoli rettangoli avevano area (r-1)r/2 e (r-2)r/2, quello centrale radq(5)*r/2 e quello iniziale 1. Dunque la somma delle aree era uguale ad r^2, l'area del quadrato. Sviluppando:
2r^2=r^2-r+r^2-2r+radq(5)*r+2
(3-radq(5))r=2
Dividendo e razionalizzando
R=(3+radq(5))/2
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