Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Esercizi commentate dei Giochi di Archimede del 27-11-2014

Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda Livex » 27/11/2014, 18:26

"Si consideri un triangolo equilatero T, si chiami G il suo baricentro. Si colorino di rosso tutti i punti interni al triangolo la cui distanza da G è minore o uguale alla distanza da uno qualsiasi dei vertici. Quanto vale il rapporto tra area rossa e area di T ?"

Questo è l'ultimo dubbio che mi rimane, io ho messo 2/3 e ne sono piuttosto sicuro. Voi?
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Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda sall96 » 27/11/2014, 18:28

Anche io!
Ho considerato l'asse del segmento vertice-baricentro e veniva un esagono regolare inscritto di lato 1/3 il lato del triangolo.
Te?
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Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda afullo » 27/11/2014, 18:31

Livex ha scritto:"Si consideri un triangolo equilatero T, si chiami G il suo baricentro. Si colorino di rosso tutti i punti interni al triangolo la cui distanza da G è minore o uguale alla distanza da uno qualsiasi dei vertici. Quanto vale il rapporto tra area rossa e area di T ?"

Questo è l'ultimo dubbio che mi rimane, io ho messo 2/3 e ne sono piuttosto sicuro. Voi?

A mente e dopo una giornata di lavoro matematico: mi verrebbe da dire che i punti la cui distanza da un vertice è minore o uguale alla distanza da G e dagli altri vertici siano costituiti da un triangolino di base 1/3 della base originaria e di altezza 1/3 della base originaria, dunque di area 1/9. Pertanto 1 - 3*(1/9) = 2/3. ;)
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Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda Livex » 27/11/2014, 18:42

Si ho fatto praticamente la stessa cosa vostra ;)

Noto adesso che sono state pubblicate le soluzioni ufficiose e anche questa risposta è corretta
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Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda Pitagorica » 27/11/2014, 19:25

Qualcuno ha un disegno di questo coso?
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Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda mr96 » 27/11/2014, 19:41

Questa penso di vincerla io, che ho messo 2/3 perchè mi ispirava. :lol:

Scherzi a parte, l'ho fatto "a spanne", senza fare mezzo conto, perchè mancavano tipo 2 minuti
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Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda afullo » 27/11/2014, 20:52

mr96 ha scritto:Questa penso di vincerla io, che ho messo 2/3 perchè mi ispirava. :lol:

Scherzi a parte, l'ho fatto "a spanne", senza fare mezzo conto, perchè mancavano tipo 2 minuti

Le alternative erano facilmente escludibili, ragionando un attimo?
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Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda stef6mennecozz » 27/11/2014, 20:54

Scusate non dovrebbe essere il cerchio inscritto questo luogo?
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Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda sall96 » 27/11/2014, 21:06

La circonferenza inscritta è il luogo dei punti equidistanti dal baricentro che hanno distanza massima da quest'ultimo ma sono tutti all'interno del triangolo (per dare una definizione contortissima :lol: )
Qui chiedeva i punti che sono più vicini al baricentro che ad uno dei vertici.
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Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda afullo » 27/11/2014, 21:09

stef6mennecozz ha scritto:Scusate non dovrebbe essere il cerchio inscritto questo luogo?

Hmm, no, e ti costruisco un controesempio. Consideriamo il triangolo equilatero di vertici [tex](-\frac{1}{2},0), (\frac{1}{2},0), (0,\frac{\sqrt{3}}{2})[/tex]: l'incentro (che coincide con il baricentro) ha coordinate [tex](0,\frac{\sqrt{3}}{6})[/tex].

Il raggio del cerchio inscritto è [tex]\frac{\sqrt{3}}{12}[/tex]; il punto [tex](\frac{1}{12},\frac{\sqrt{3}}{3})[/tex] sta dentro il triangolo (a metà tra l'altezza riferita al lato orizzontale e il lato obliquo di destra), ma fuori dalla circonferenza (che è tangente alla retta orizzontale [tex]y=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]), eppure è equidistante dal vertice più alto e dal baricentro.
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