Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Esercizi commentate dei Giochi di Archimede del 27-11-2014

Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda stef6mennecozz » 27/11/2014, 21:14

ma i punti interni alla circonferenza inscritta non sono appunto più vicini al baricentro che ai vertici??
se dividi a metà la "parte più lunga dell'altezza", ottieni un punto distante 1/3 dell'altezza sia dal centro che dal vertice. facendo la circonferenza inscritta tutti i punti interni sono più vicini a G che ai vertici. Con uno qualsiasi dei vertici si intende tutti e 3 o quello che ci fa più comodo?
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Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda stef6mennecozz » 27/11/2014, 21:16

afullo ha scritto:
stef6mennecozz ha scritto:Scusate non dovrebbe essere il cerchio inscritto questo luogo?

Hmm, no, e ti costruisco un controesempio. Consideriamo il triangolo equilatero di vertici [tex](-\frac{1}{2},0), (\frac{1}{2},0), (0,\frac{\sqrt{3}}{2})[/tex]: l'incentro (che coincide con il baricentro) ha coordinate [tex](0,\frac{\sqrt{3}}{6})[/tex].

Il raggio del cerchio inscritto è [tex]\frac{\sqrt{3}}{12}[/tex]; il punto [tex](\frac{1}{12},\frac{\sqrt{3}}{3})[/tex] sta dentro il triangolo (a metà tra l'altezza riferita al lato orizzontale e il lato obliquo di destra), ma fuori dalla circonferenza (che è tangente alla retta orizzontale [tex]y=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]), eppure è equidistante dal vertice più alto e dal baricentro.


perfetto capito :) dalla mia università ormai ho perso l'abitudine con sti problemini
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Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda afullo » 27/11/2014, 21:17

stef6mennecozz ha scritto:ma i punti interni alla circonferenza inscritta non sono appunto più vicini al baricentro che ai vertici??
se dividi a metà la "parte più lunga dell'altezza", ottieni un punto distante 1/3 dell'altezza sia dal centro che dal vertice. facendo la circonferenza inscritta tutti i punti interni sono più vicini a G che ai vertici. Con uno qualsiasi dei vertici si intende tutti e 3 o quello che ci fa più comodo?

Lo sono (perlomeno nel caso del triangolo equilatero), ma non sono gli unici; devono essere più vicini a G che a qualunque vertice. Attenzione che nel caso di triangoli qualsiasi altezze e mediane in generale non coincidono. ;)
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Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda marcomarco » 27/11/2014, 22:38

andando per stime e ad occhio si vedeva che il rapporto tra G e T è abbastanza grande per non essere 1/3 , 1/4 e rad3/9 ;
per cui si sceglie tra rad3/3 e 2/3 :mrgreen: :mrgreen:
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Re: Triennio: Es. Baricentro e Colore Rosso

Messaggioda Tartaglia » 30/11/2014, 16:59

Credo di avere la soluzione del problema

La distanza del baricentro da un vertice è 2/3 della mediana (Teorema del baricentro), ossia sqrt(3)/3 * lato. Per disegnare la figura si devono perciò tracciare le assi dei segmenti che congiungono i vertici alla mediana. Il luogo di tutti e soli i punti che rispettano la proprietà in esame è un esametro (regolare) i cui vertici sono dati dalle intersezioni delle assi con i lati. Immaginiamo ora l'esagono diviso in sei triangoli equilateri, che hanno di conseguenza area sqrt(3)/36 * lato^2. A questo punto l'area dell'esagono vale sqrt(3)/6 * lato^2 e quella del triangolo sqrt(3)/4 lato^2. Il loro rapporto vale 2/3.
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