Triangolo delle mediane

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

Triangolo delle mediane

Messaggioda Albirz » 30/08/2016, 12:39

Ciao a tutti. Tempo fa lessi che il triangolo formato dalle 3 mediane è i tre quarti del triangolo di partenza, cioè quello nel quale sono tracciate le mediane stesse. Sapreste indicarmi la dimostrazione? Grazie mille! :oops: :D
Albirz
 
Messaggi: 49
Iscritto il: 25/11/2013, 19:01

Re: Triangolo delle mediane

Messaggioda Gizeta » 30/08/2016, 15:49

Penso questa immagine possa essere sufficiente.

Testo nascosto:
Immagine
Gizeta
 
Messaggi: 795
Iscritto il: 27/11/2013, 17:16

Re: Triangolo delle mediane

Messaggioda Albirz » 30/08/2016, 15:59

Potresti, se possibile, spiegarmi poi meglio la figura mediante delle formule e il ragionamento che hai seguito? Grazie.
Albirz
 
Messaggi: 49
Iscritto il: 25/11/2013, 19:01

Re: Triangolo delle mediane

Messaggioda Gizeta » 30/08/2016, 16:41

Comincia col mostrare che il triangolo mediale di un triangolo (cioè il triangolo ottenuto congiungendo i punti medi di un triangolo) suddivide questo in quattro triangoli congruenti.
A questo punto come puoi vedere dall'immagine ho sfruttato i parallelogrammi per "trasportare" le mediane.

Andando in senso orario e partendo da quello più alto nominiamo i tre vertici [tex]A,B,C[/tex], siano inoltre [tex]M_{\overline{PQ}}[/tex] il punto medio del lato [tex]\overline{PQ}[/tex] e [tex]A(\triangle{PQR})[/tex] l'area del triangolo di vertici [tex]P,Q,R[/tex].

Consideriamo [tex]\triangle AM_{\overline{AB}}M_{\overline{BC}}[/tex], per costruzione questo ha area uguale a quella del triangolo mediale (perché?), ossia [tex]\displaystyle \frac{1}{4}A(\triangle{ABC})[/tex].
Riesci a scrivere l'area di tutti i vari "pezzi" del triangolo costruito con le mediane in funzione dell'area del triangolo mediale sfruttando la figura?
Gizeta
 
Messaggi: 795
Iscritto il: 27/11/2013, 17:16

Re: Triangolo delle mediane

Messaggioda Albirz » 30/08/2016, 22:38

Credo di aver capito quello che intendi. Solo una cosa: hai detto che il triangolo avente per vertici AM(ab)M(bc) ha l'area uguale al triangolo mediale...mi spieghi perchè; io l'ho capito perchè ho notato che hanno due lati uguali e gli angoli compresi supplementari quindi calcolando l'area con la formula 1/2 a*b*sen(alfa) vedo che avendo angoli supplementari i seni uguali allora le aree sono uguali. Tu disponi di una dimostrazione "geometrica" per caso o hai seguito questo ragionamento?
Albirz
 
Messaggi: 49
Iscritto il: 25/11/2013, 19:01

Re: Triangolo delle mediane

Messaggioda Gizeta » 31/08/2016, 12:03

[tex]AM_{\overline{AB}}M_{\overline{BC}}M_{\overline{CA}}[/tex] è un parallelogramma e [tex]\overline{AM_{\overline{BC}}}[/tex] è una delle sue diagonali, inoltre [tex]A(AM_{\overline{AB}}M_{\overline{BC}}M_{\overline{CA}})=2A(\triangle M_{\overline{AB}}M_{\overline{BC}}M_{\overline{CA}})[/tex]

[perché come abbiamo detto il triangolo mediale di un triangolo divide questo in quattro triangoli congruenti, e dunque equivalenti]

quindi il valore cercato è esattamente metà di questo!
Gizeta
 
Messaggi: 795
Iscritto il: 27/11/2013, 17:16

Re: Triangolo delle mediane

Messaggioda Lasker » 02/09/2016, 16:13

Oppure un modo carino che avevo trovato era fare conti con il prodotto vettore! Scegli un'origine a caso, usi associatività ed anticommutatività e viene senza nemmeno bisogno di fare il disegno in una mezza pagina (procedimento ispirato da quello del tetraedro di ammissione alla superiore di Udine, che avevo fatto allo stesso modo :mrgreen: )
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 734
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00


Torna a Geometria

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Dudin e 1 ospite