Tre interi positivi

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Tre interi positivi

Messaggioda lucaboss98 » 02/02/2014, 16:28

Trovare tutte le terne [tex](a,m,n)[/tex] con [tex]a, m, n[/tex] appartenenti a [tex]N^{+}[/tex] che soddisfano la seguente equazione:

[tex]5^n - 3^m = a^2[/tex]
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Re: Tre interi positivi

Messaggioda nil » 02/02/2014, 17:37

Ho dovuto usare LTE :shock: (e manco so se ho fatto una cosa lecita :P) non la posto aspetto che ne arrivi una più decente :lol: se non arriva la metto stasera
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Re: Tre interi positivi

Messaggioda Gizeta » 02/02/2014, 18:23

Soluzione inconcludente:

Testo nascosto:
Modulo tre abbiamo

[tex](-1)^n \equiv a^2 \pmod 3[/tex]

ma i quadrati modulo tre possono essere solo 0 o 1, quindi deve necessariamente valere [tex]a^2 \equiv 1 \pmod 3[/tex], e [tex]n[/tex] pari.
Diciamo [tex]n=2k[/tex]

[tex]3^m=(5^k)^2-a^2=(5^k-a)(5^k+a)[/tex].

Essendo [tex]3^m[/tex] una potenza di un primo essa può essere scritta come prodotto di fattori solo se questi sono a loro volta potenze dello stesso primo con esponente minore. Quindi

[tex]5^k-a=3^x[/tex]

[tex]5^k+a=3^y[/tex]

Vale indubbiamente [tex]y>x[/tex]; sommo le due espressioni

[tex]2\cdot 5^k=3^x(3^{y-x}+1)[/tex]

ma adesso nessuno tra il fattore 2 e quello [tex]5^k[/tex] può essere contenuto in [tex]3^x[/tex], quindi valgono

[tex]2\cdot 5^k=3^x(3^{y-x}+1)[/tex]

Tentativo a vuoto, se qualcuno riesce a concludere faccia pure

[tex]2\cdot 5^k=3^{y-x}+1[/tex]

E per via della fattorizzazione unica è necessariamente [tex]3^x=1 \Rightarrow x=0 \Rightarrow 5^k=a+1[/tex], conseguentemente

[tex]2a+1=3^m[/tex]

Scomponendo

[tex]a=3^{m-1}+3^{m-2}+3^{m-3}+...+3+1[/tex]

Andiamo adesso a cercare un po' la parità di [tex]m[/tex]: [tex]a^2[/tex] è pari, quindi proviamo modulo 4 nell'espressione iniziale

[tex]1-(-1)^m\equiv 0 \pmod 4 \Rightarrow m[/tex] pari


Piuttosto: abbiamo che sia [tex]m[/tex] che [tex]n[/tex] sono pari, allora poniamo [tex]m=2k[/tex] e [tex]n=2h[/tex]

[tex](5^k)^2-(3^h)^2=(5^k-3^h)(5^k+3^h)=a^2[/tex]

Sia [tex]d:=\gcd(5^k-3^h,5^k+3^h)[/tex], allora [tex]d \mid 5^k-3^h \Rightarrow 5^k \equiv 3^h \pmod d[/tex], ma allora

[tex]5^k+3^h \equiv 2\cdot 3^h \equiv 0 \pmod d \Rightarrow d\mid 2 \Rightarrow d=2[/tex], conseguentemente possiamo esprimere i due fattori come

[tex]5^k-3^h=2x^2[/tex]

[tex]5^k+3^h=2y^2[/tex]

con [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] dispari e coprimi. Ma allora [tex]\upsilon_2(a^2)=2[/tex].

Questo è assurdo, infatti modulo 8 nell'equazione di partenza otteniamo

[tex](5^k)^2-(3^h)^2\equiv 1-1 \equiv 0 \equiv a^2 \pmod 8[/tex], dacché il quadrato di un dispari è sempre [tex]\equiv 1 \pmod 8[/tex].

Probabilmente non funziona :lol:
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Re: Tre interi positivi

Messaggioda Gizeta » 02/02/2014, 18:33

Eh no, [tex](x,y)=1[/tex] ma uno tra i due potrebbe essere pari...
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Re: Tre interi positivi

Messaggioda Livex » 02/02/2014, 18:37

Non ho capito a pieno l'ultimo ragionamento, o forse non vedo io, ma [tex]5^2-3^2=4^2[/tex] ?
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Re: Tre interi positivi

Messaggioda Gizeta » 02/02/2014, 18:39

C'è un errore, l'ho segnalato nel post poco sopra il tuo.
Provo a tirare fuori qualcosa dal fatto che [tex]8\mid a^2[/tex].
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Re: Tre interi positivi

Messaggioda aetwaf » 02/02/2014, 18:52

C'è almeno $1 $ soluzione

Analizzando l'equazione $\pmod 4 $ otteniamo che deve essere $ m=2m_1 $
Infatti $5^n\equiv 1\pmod 4 $ e $ a^2\equiv 0, 1\pmod 4 $
Deve essere $3^m\equiv 1\pmod 4 $ cioè $ m $ pari e $ a=2a_1 $
Per lo steso motivo, ma in $\pmod 3 $ otteniamo $ n=2n_1 $
Sostituendo troviamo
$5^{2n_1}=3^{2m_1}+(2a_1)^2 $
Ora scriviamolo come terna pitagorica
Otteniamo
$5^{n_1}=x^2+y^2 $
$3^{m_1}=(x-y)(x+y) $
Ma allora $ x+y=3^p $ e $ x-y=3^q $
Quindi $\frac {3^{2p}+3^{2q}} 2=x^2+y^2=5^{n_1} $
Ma quello è multiplo di $3 $ tranne nel caso
$2q=0 $
Cioè $ x=y+1 $
$2y=3^{m_1-1}+\ldots +1 $ per $ m_1\ne 1 $
In quel caso troviamo la soluzione $ m=n=2 $
Se no dobbiamo avere $ m_1=2k $ pari
Da cui $2y=(3^k-1)(3^k+1) $
Ma allora $2y $ è multiplo di $8 $
Quindi visto che le potenze di $3 $ in quel modulo si alternano $3, 1 $ otteniamo che deve essere $4\mid m_1 $
Da cui $16\mid 2y $
Da cui $8\mid m_1 $
E qui dovrebbe funzionare la discesa infinita
Quindi quella è l'unica soluzione
$ n=m=2, a=4 $

Non sono sicuro della parte finale
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Re: Tre interi positivi

Messaggioda lucaboss98 » 02/02/2014, 19:17

aetwaf ha scritto:Ora scriviamolo come terna pitagorica
Otteniamo
$5^{n_1}=x^2+y^2 $
$3^{m_1}=(x-y)(x+y) $


Allora la soluzione è giusta, ma non capisco il perchè di questa parte... Se volete vi posto la mia dopo... :D :D
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Re: Tre interi positivi

Messaggioda aetwaf » 02/02/2014, 19:24

Poniamo $ n_1=k, m_1=b $
Abbiamo $5^{2k}=3^{2b}+(2a)^2 $
Quindi $5^k, 3^b, 2a $ è una terna pitagorica
Tutte le terne pitagoriche primitive, come questa perchè (5, 3)=1, si possono esprimere come
$2xy, x^2-y^2, x^2+y^2 $
Ovviamente sará $2xy=2a $
Segue quello che ho detto

Scusa per la poca chiarezza
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Re: Tre interi positivi

Messaggioda nil » 02/02/2014, 19:30

A questo punto metto anche la mia

$5^n-3^m=a^2$

$n$ è pari : se non lo fosse cascherebbe $\mod3$ , infatti sarebbe $a^2 \equiv -1$ che è impossibile.

$m$ è pari : consideriamo $\mod4$ : $(1)^n - (-1)^m \equiv a^2$ . Se $m$ fosse dispari , $a^2$ sarebbe $\equiv2$ , ma ciò non è possibile quindi $m$ è dispari e $4|a^2$.

Quindi possiamo scrivere $n=2x,m=2y$.
Perciò manipolando abbiamo
$(5^x - a)(5^x+a)=3^{2y}$

Da cui arriviamo al sistema

$\begin{cases} 5^x-a=3^t \\ 5^x+a = 3^l \\ t+l =2y \end{cases}$

Sommando le due prime equazioni si arriva a
$2\cdot5^x = 3^t + 3^l$

Ma $3\nmid LHS$ , ne consegue che $t=0$ e $l=2y$.

Abbiamo quindi $2\cdot5^x=9^y+1$.
Applichiamo quindi LTE :
$v_5(2\cdot5^x)=v_5(9^y+1^y)\\
x = v_5(10) + v_5(y)\\
x = 1 + v_5(y)$

Sostituiamo nella formula prima (questo passaggio penso si possa fare, ma non sono completamente certo)
$2\cdot5^{1 + v_5(y)}-1=9^y\\
10y-1=9^y$

Che ha come soluzione intera $y=1$ , da cui deriva $m=2,n=2,a=4$
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