Topologia?!

Esercizi sulla verità delle proposizioni e problemi che non sembrano rientrare in nessun'altra categoria.

Topologia?!

Messaggioda GCAE » 12/07/2019, 18:32

Ogni punto del piano è colorato o in bianco o in nero.
Dimostrare che esiste un segmento AB di lunghezza 7 con A e B dello stesso colore;
Dimostrare che esiste una colorazione del piano in cui Ae B estremi di un segmento di lunghezza 7 verticale hanno colore diverso.
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Re: Topologia?!

Messaggioda afullo » 12/07/2019, 18:39

Propongo una soluzione del primo punto:

Testo nascosto:
Supponiamo senza perdita di generalità che [tex](0,0)[/tex] sia bianco. Consideriamo poi la circonferenza di centro l'origine e di raggio 7: se almeno un suo punto è bianco, basta considerare il raggio che ha esso come uno dei suoi estremi. L'alternativa è che tutti i suoi punti siano neri, ma in quel caso si tiene conto che per elementari considerazioni geometriche in una circonferenza di diametro 14 esiste una corda lunga 7, i cui estremi sono pertanto dello stesso colore.
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Re: Topologia?!

Messaggioda matpro98 » 12/07/2019, 22:15

O anche:
Testo nascosto:
trangolo equilatero di lato 7, tre punti e due colori, per pigeonhole c'è almeno una coppia
matpro98
 
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Re: Topologia?!

Messaggioda afullo » 12/07/2019, 22:23

Per il secondo punto:

Testo nascosto:
con i punti tali per cui [tex]\left\lfloor \dfrac{y}{7} \right\rfloor[/tex] è pari bianchi, e quelli per cui la stessa quantità è dispari neri, un segmento verticale lungo 7 ha sempre estremi di colore opposto.
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