Topologia

Oltre la matematica elementare: teoria, esercizi, e riflessioni sulle varie branche della matematica che si fanno all'università.

Topologia

Messaggioda Gizeta » 25/10/2014, 14:01

Parliamone, è un bel argomento :lol:
Inizio io proponendo la costruzione assiomatica degli spazi topologici passando per gli intorni.
Sarò conciso (emh... va bene, sto mentendo: mi piacciono i dettagli :cry: ).

Verso gli spazi metrici

Definizione 1: Nello spazio [tex]\mathbb{R^n}[/tex] consideriamo un'applicazione [tex]d:\mathbb{R^n}\times \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R^+}[/tex] tale che

[tex]\displaystyle d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}|=\sqrt{\sum_{k=1}^n{(x_k-y_k)^2}}[/tex]

Tale applicazione prende il nome di distanza Pitagorica o Euclidea e coincide con l'usuale distanza della geometria Euclidea.
Vediamo le proprietà della suddetta:

1) [tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0 \iff \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}[/tex]

2) [tex]d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})[/tex]

3) [tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \le d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z})+d(\boldsymbol{z},\boldsymbol{y})[/tex]

Le prime due seguono immediatamente dalla definizione.
Dimostriamo la terza.

Dimostrazione

Premettiamo a tale dimostrazione due definizioni e la dimostrazione di altre due diseguaglianze

Testo nascosto:
Definizione 2: Dati due punti [tex]\boldsymbol{x}=(x_1,x_2,...,x_n)[/tex] e [tex]\boldsymbol{y}=(y_1,y_2,...,y_n)[/tex] definiamo prodotto scalare dei due il seguente

[tex]\displaystyle \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y}=\sum_{k=1}^n{(x_ky_k)}[/tex]

Definizione 3: Definiamo modulo di un vettore [tex]\boldsymbol{x}=(x_1,...,x_n) \in \mathbb{R^n}[/tex] (stiamo qui considerando [tex]\mathbb{R^n}[/tex] come spazio vettoriale) il seguente

[tex]\displaystyle |\boldsymbol{x}|=\sqrt{\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{x}}=\sqrt{\sum_{k=1}^n{x_k^2}}[/tex]

Dimostrazioni

1) Diseguaglianza di Cauchy

[tex]|\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y}| \le |\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}|[/tex]

Proof

Consideriamo

[tex]|\boldsymbol{x}+\lambda\boldsymbol{y}|^2[/tex]

con [tex]\lambda \in \mathbb{R}[/tex] e [tex]\boldsymbol{x},\boldsymbol{y} \in \mathbb{R^n}[/tex]

[tex]|\boldsymbol{x}+\lambda\boldsymbol{y}|^2=(\boldsymbol{x}+\lambda\boldsymbol{y})\cdot (\boldsymbol{x}+\lambda\boldsymbol{y})=\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{x}+2\lambda(\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y})+\lambda^2(\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{y})[/tex]

Questo è un polinomio di secondo grado in [tex]\lambda[/tex] sempre nonnegativo (infatti il modulo è sempre nonnegativo), dunque il suo [tex]\Delta[/tex] è [tex]\le 0[/tex]

[tex]4(\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y})(\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y})-4((\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{x})(\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{y}) \le 0[/tex]

[tex]|\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}|^2 \le |\boldsymbol{x}|^2|\boldsymbol{y}|^2[/tex]

I moduli sono nonnegativi, quindi questa sopra è equivalente alla tesi.

2) [tex]|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}| \le |\boldsymbol{x}|+|\boldsymbol{y}|[/tex]

Proof

Consideriamo

[tex](|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}|)^2=|\boldsymbol{x}|^2+2(\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y})+|\boldsymbol{y}|^2 \le |\boldsymbol{x}|^2+2(|\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}|)+|\boldsymbol{y}|^2 \le |\boldsymbol{x}|^2+2|\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}|+|\boldsymbol{y}|^2=(|\boldsymbol{x}|+|\boldsymbol{y}|)^2[/tex]

E ancora una volta questa è equivalente alla tesi.

Discutiamo i casi di uguaglianza:

1) L'uguaglianza si ha nel momento in cui vale [tex]\Delta=0[/tex], ossia l'equazione iniziale ha una sola soluzione, per cui:

[tex]|\boldsymbol{x}+\lambda \boldsymbol{y}|^2=0 \iff \boldsymbol{x}+\lambda \boldsymbol{y}=0 \longrightarrow \boldsymbol{x}=-\lambda \boldsymbol{y}[/tex]

Quindi l'uguaglianza sussiste se e solo se

[tex]\boldsymbol{x}=\alpha \boldsymbol{y}[/tex]

oppure

[tex]\boldsymbol{y}= \beta \boldsymbol{x}[/tex]

[tex]\alpha, \beta \in \mathbb{R}[/tex]

In tal caso si dice che i vettori sono proporzionali, ossia hanno la stessa direzione.

2) Tutti i segni di diseguaglianza devono essere uguaglianza, quindi

[tex]\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}=|\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}|[/tex]

[tex]|\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}|=|\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}|[/tex]

Come visto in precedenza la seconda vuole dire che i due vettori sono proporzionali, invece la prima implica che [tex]\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{y}=\alpha (\boldsymbol{y}\cdot \boldsymbol{y})\ge0 \iff \alpha \ge 0[/tex], ossia i due vettori oltre alla medesima direzione devono avere anche lo stesso verso.


Consideriamo le sostituzioni

[tex]\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{a}[/tex]

[tex]\boldsymbol{x}-\boldsymbol{z}=\boldsymbol{b}[/tex]

[tex]\boldsymbol{z}-\boldsymbol{y}=\boldsymbol{c}[/tex]

dacché [tex]\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}[/tex], è sempre verificata per la 2

[tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}| \le |\boldsymbol{b}|+|\boldsymbol{c}|=d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z})+d(\boldsymbol{z}, \boldsymbol{y})[/tex]

Bene bene bene, è tempo di generalizzare

Definizione 4: Sia [tex]E[/tex] un insieme, un'applicazione [tex]d:E \times E \rightarrow \mathbb{R^+}[/tex] che goda delle proprietà 1,2,3 è detta distanza. Un insieme in cui sia definita una distanza prende il nome di spazio metrico.

Osservazione: Un qualsiasi sottoinsieme [tex]T[/tex] di [tex]E[/tex] sarà a sua volta spazio metrico, infatti possiamo considerare come distanza in [tex]T[/tex] la restrizioni di [tex]d[/tex] a [tex]T[/tex], ossia [tex]d\mid_{T \times T}:=\{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \mapsto d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}): T \times T \rightarrow E\}[/tex]

Dagli spazi metrici agli spazi topologici

Abbiamo uno spazio metrico e una distanza, incominciamo a chiederci chi sta vicino a chi?

Definizione 5,6: In uno spazio metrico E, definiamo palla (o disco) di centro [tex]\boldsymbol{x}[/tex] e raggio [tex]0<\delta \in \mathbb{R}[/tex] il seguente insieme

[tex]B(\boldsymbol{x},\delta)=\{\boldsymbol{y}:\boldsymbol{y} \in E[/tex] e [tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) < \delta\}[/tex]

Invece, chiamiamo Sfera di centro [tex]\boldsymbol{x}[/tex] e raggio [tex]0<\delta \in \mathbb{R}[/tex]

[tex]S(\boldsymbol{x},\delta)=\{\boldsymbol{y}:\boldsymbol{y} \in E[/tex] e [tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) = \delta\}[/tex]

[In [tex]\mathbb{R^2}[/tex] e [tex]\mathbb{R^3}[/tex] sono facilmente visualizzabili]

Definizione 6: In uno spazio metrico [tex]E[/tex], chiamiamo intorno di un suo punto [tex]\boldsymbol{x}[/tex] ogni insieme che contenga una palla con centro in [tex]\boldsymbol{x}[/tex].
Denotiamo con [tex]\mathscr{I}_x[/tex] la famiglia di intorni del punto [tex]\boldsymbol{x}[/tex].

Gli intorni hanno delle belle proprietà, vediamole:


1) Ogni punto di [tex]E[/tex] ha almeno un intorno e ogni intorno di [tex]\boldsymbol{x}[/tex] contiene [tex]\boldsymbol{x}[/tex]
2) Se [tex]U \in \mathscr{I}_x[/tex] e [tex]V \in \mathscr{I}_x[/tex] allora [tex]U \cap V \in \mathscr{I}_x[/tex]
3) Se [tex]U \in \mathscr{I}_x[/tex] e [tex]U \subset V[/tex] allora [tex]V \in \mathscr{I}_x[/tex]
4) Per ogni [tex]U \in \mathscr{I}_x[/tex] esiste [tex]V \in \mathscr{I}_x[/tex] tale che [tex]U[/tex] sia intorno per ogni punto di [tex]V[/tex] (ossia, [tex]\forall y \in V: U \in \mathscr{I}_y[/tex])
5) Se [tex]x \not = y[/tex] allora esistono [tex]U \in \mathscr{I}_x[/tex] e [tex]V \in \mathscr{I}_y[/tex] tali che [tex]U \cap V= \emptyset[/tex]

Le prime tre sono banali (forse la terza è quella che salta meno all'occhio, ma facilmente: [tex]U \in \mathscr{I}_x \Rightarrow \exists B(\boldsymbol{x},\delta):B(\boldsymbol{x},\delta)\in U \Rightarrow B(\boldsymbol{x},\delta) \in V[/tex] dal momento che [tex]U \subset V[/tex], e abbiamo finito).

Cerchiamo di dimostrare la quarta e la quinta

4) Diciamo che non è difficile immaginare un simile insieme [tex]V[/tex] (per lo meno in [tex]\mathbb{R^2}[/tex]).
Per ipotesi [tex]U[/tex] contiene [tex]B(\boldsymbol{x},\delta)[/tex], consideriamo [tex]V=B(\boldsymbol{x}, \frac{\delta}{2})[/tex].
Che [tex]V[/tex] sia un intorno di [tex]\boldsymbol{x}[/tex] è chiaro.
Prendiamo un qualsiasi punto [tex]y \in B(\boldsymbol{x},\frac{\delta}{2})[/tex] e consideriamo la palla [tex]B(\boldsymbol{y},\frac{\delta}{2})[/tex], mostriamo che un qualsiasi punto [tex]\boldsymbol{z}\in B(\boldsymbol{y},\frac{\delta}{2})[/tex] dista da [tex]\boldsymbol{x}[/tex] meno di [tex]\delta[/tex].
A tal proposito adoperiamo la terza proprietà degli spazi metrici dimostrata prima

[tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}) \le d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})+d(\boldsymbol{y},\boldsymbol{z}) \le \frac{\delta}{2}+\frac{\delta}{2}=\delta[/tex]

Ossia [tex]\boldsymbol{z} \in B(\boldsymbol{x}, \delta )[/tex] per ogni [tex]\boldsymbol{z} \in B(\boldsymbol{y},\frac{\delta}{2})[/tex], quindi [tex]B(\boldsymbol{y},\frac{\delta}{2}) \subset B(\boldsymbol{x},\delta) \subset U[/tex], e con ciò la dimostrazione è chiusa.

Per visualizzare bene la dimostrazione riducetevi a [tex]\mathbb{R^2}[/tex].

5) Ancora una volta, in [tex]\mathbb{R^2}[/tex] è facile immaginare i due insiemi; dobbiamo solo generalizzare quello che in due dimensioni è intuitivo.
Provo a renderlo intuitivo in due dimensioni: immaginiamo due punti [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] del piano che distino [tex]\delta[/tex], allora il punto medio di [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] è equidistante dai due, ma allora se prendiamo un raggio più piccolo di [tex]\frac{\delta}{2}[/tex] e centriamo due cerchi in [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] con tali raggi: questi due non si intersecheranno in alcun punto (un bel disegno chiarisce tutto!).

Generalizzando: [tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\delta >0[/tex] perché [tex]x\not=y[/tex], prendiamo allora un raggio [tex]0< \epsilon < \frac{\delta}{2}[/tex] e consideriamo le due palle [tex]B(\boldsymbol{x}, \epsilon)[/tex] e [tex]B(\boldsymbol{y}, \epsilon)[/tex].
Mostriamo che queste due palle non hanno punti in comune: supponiamo [tex]\boldsymbol{z} \in B(\boldsymbol{x}, \epsilon) \cap B(\boldsymbol{y}, \epsilon)[/tex], allora [tex]\boldsymbol{z}\in B(\boldsymbol{x}, \epsilon)[/tex] e [tex]\boldsymbol{z} \in B(\boldsymbol{y}, \epsilon)[/tex], ma allora [tex]d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \le d(\boldsymbol{x},\boldsymbol{z}) + d(\boldsymbol{z},\boldsymbol{y})= \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon < \delta[/tex], assurdo. Conseguentemente [tex]\boldsymbol{z} \in B(\boldsymbol{x}, \epsilon) \cap B(\boldsymbol{y}, \epsilon)=\emptyset[/tex], come volevasi dimostrare.

Ancora una volta è tempo di generalizzare

Definizione 7

Consideriamo le cinque proprietà precedenti come assiomi.
Definiamo spazio topologico un insieme [tex]E[/tex] per ogni punto [tex]\boldsymbol{x}[/tex] del quale è assegnata una famiglia di sottoinsiemi [tex]\mathscr{I}_x[/tex] di [tex]E[/tex] che verificano gli assiomi 1,2,3,4. Se è soddisfatto anche l'assioma 5 lo spazio topologico è detto separato o di Hausdorff. Ogni spazio metrico è spazio topologico (separato) [del resto abbiamo derivato questi dagli altri attraverso gli intorni].

In realtà tutta la costruzione vista fino ad ora è dovuta ad Hausdorff [e io la trovo semplicemente elegante e bellissima] e gli assiomi sono appunto detti di Hausdorff.

Definizione 8: La famiglia [tex]\{\mathscr{I}_x:\boldsymbol{x} \in E \}[/tex] è detta topologia di [tex]E[/tex].
Se la topologia può essere dedotta da una distanza l'insieme si dice metrizzabile.


Da qui si possono definire tutte quelle cosette di cui si parla con disinvoltura (in una sola dimensione... bleah! :D ) in Analisi 1 (punti aderenti, di accumulazione, isolati, ecc.).

Come al solito sapete che mi rifaccio al Prodi, quindi molte cose sono assolutamente identiche (o molto simili) a come sono scritte su questo.
Ultima modifica di Gizeta il 04/11/2014, 19:54, modificato 4 volte in totale.
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Re: Topologia

Messaggioda Drago » 25/10/2014, 14:11

Wow, strafigo! :D
Complimenti! ;)
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Re: Topologia

Messaggioda enigma » 27/10/2014, 9:41

Se ti piace così tanto perché non prendi un manuale di topologia e cominci a studiare quello? Sarà anche più proficuo che leggere le briciole che ti somministra il Prodi, e la parte più bella arriva secondo me con la topologia algebrica: gruppi fondamentali, numeri di Betti, topologia di Zariski e topologia étale, omologia e coomologia, eccetera. Anzi, potrai così mettere a frutto anche gli altri corsi universitari che stai seguendo! La topologia trova infatti il suo massimo sviluppo quando interseca altre discipline, come l'algebra, la geometria algebrica, l'analisi complessa.
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Re: Topologia

Messaggioda afullo » 27/10/2014, 12:56

enigma ha scritto:Se ti piace così tanto perché non prendi un manuale di topologia e cominci a studiare quello? Sarà anche più proficuo che leggere le briciole che ti somministra il Prodi, e la parte più bella arriva secondo me con la topologia algebrica: gruppi fondamentali, numeri di Betti, topologia di Zariski e topologia étale, omologia e coomologia, eccetera. Anzi, potrai così mettere a frutto anche gli altri corsi universitari che stai seguendo! La topologia trova infatti il suo massimo sviluppo quando interseca altre discipline, come l'algebra, la geometria algebrica, l'analisi complessa.

Anche l'analisi numerica! (cfr. Mourrain) :D
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