Test finale senior 1997

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Test finale senior 1997

Messaggioda burt » 08/09/2015, 2:36

10 donne e 5 uomini si mettono in fila indiana , qual è la probabilità che dopo ogni uomo ci sia una donna ? stranamente , l ho risolto!
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Re: Test finale senior 1997

Messaggioda gabrimoros 1 » 08/09/2015, 14:50

Ho provato e mi viene $\frac{3}{8}$. Mi sembra un po' alta ad occhio...
Se è sbagliato mettimi la tua soluzione :)
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Re: Test finale senior 1997

Messaggioda burt » 09/09/2015, 0:06

A me viene diverso, ma potrei aver preso abbagli ,considerando che tutti i modi in cui si mettono questi umani sono equiprobabili possiamo definire probabilità come casi favorevoli / casi totali , i casi favorevoli sono 15 su 10 coefficiente binomiale , 15x14x13x12x11/5x4x3x2. Notiamo che una volta scelto dove si mettono a sedere gli uomini le donne possono mettersi in un solo modo. ( consideriamo che ci siano 15 posti in treno in fila numerati che è piu comodo da visualizzare ). Non tutte le disposizioni degli uomini vanno bene , se ce ne sono due consecutivi una donna non potrà andare in mezzo dunque le dobbiamo scartare ,. Chiamiamo x1,x2,x3,x4,x5 i nostri uomini , e consideriamo che siano in ordine cioè il primo uomo che incontriamo è x1, poi x2 e così via , immaginiamo che si mettono a sedere e poi li rimettiamo a sedere in questo modo : x1 ,x2+1 , x3+2 , x4 +3 , x5 +4 , in questo modo hanno tutti " lo spazio per la donna , ma dato che non esistono 19 sediolini si possono mettere solo fino al sediolino 11 , infatti 11+4=15 , ma sull ultimo sediolino un uomo non va bene quindi fino ci saranno solo 10 sediolini . Qui di alla fine mi viene 15 su 10 fratto 10 su 5 coefficiente binomiale ..che se non errato i conti viene 1001 /12 , scusa se ti ho risposto cosi tardi
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Re: Test finale senior 1997

Messaggioda gabrimoros 1 » 09/09/2015, 10:35

Anche io avevo iniziato cercando una soluzione con casi favorevoli/casi possibili ma mi sono bloccato ben presto...
Comunque correggimi se sbaglio, ma i casi totali non sono dati da una permutazione con ripetizione?
Infatti me ne vengono $\frac{15!}{10!\cdot5!}=3003$
Comunque poi non sono più riuscito ad andare avanti perché contavo più volte quelli che avevo già contato...

Poi ho provato così:
Chiamiamo $P_n$ la probabilità che dopo il maschio $n$ ci sia una femmina.
$P_1=\frac{10}{14}$
$P_2=\frac{9}{12}$
$P_3=\frac{8}{10}$
$P_4=\frac{7}{8}$
$P_5=\frac{6}{6}$

$\Longrightarrow$ $P_{tot}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{14\cdot12\cdot10\cdot8}=\frac{3}{8}$
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Re: Test finale senior 1997

Messaggioda Giovanni98 » 09/09/2015, 14:48

Burt una probabilità per definizione non può mai essere $>1$ in quanto l'insieme degli eventi favorevoli è sempre un sottoinsieme dell'insieme degli eventi possibili, quindi è impossibile che la probabilità sia pari a $\frac{1001}{12}$.

Se la mia soluzione è corretta (c'è davvero da dubitare dato la mia enorme incapacità nel risolvere problemi di combinatoria) anche il risultato di Gabri è errato.

Soluzione (si spera buona)
Testo nascosto:
Diamo per diversi due individui in qualunque caso, anche quindi in caso di stesso sesso. Da questa premessa il numero di combinazioni totali è pertanto : $15!$.

Adesso consideriamo la seguente stringa rappresentante una fila : $UDUDUDUDUD$ dove $U$ indica che la persona in questione è un uomo, mentre $D$ indica ovviamente che è donna. Ogni stringa rappresentante un evento favorevole è chiaramente costruibile a partire dalla su-scritta stringa.

Ci restano $5$ donne da "piazzare". Consideriamo i seguenti gruppi nei quali possiamo piazzare le restanti donne : il gruppo delle donne prima del primo uomo, il gruppo delle donne fra il primo uomo e il secondo e così via, pertanto abbiamo $6$ gruppi. Ora chiamiamo $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$ il numero di donne presenti nei gruppi $1,2,3,4,5,6$ rispettivamente. Allora $\sum_{i=1}^6 x_i = 5$. Pertanto il numero di possibili piazzamenti è dati dal numero di sestuple di interi non negativi ($x_1,...,x_6$) che danno come somma $5$. Il problema può essere semplicemente risolto utilizzando le tanto amate funzioni generatrici, ovvero la risposta al nostro problema (quello di determinare quante sestuple danno somma $5$) è dato dal coefficiente di $x^5$ del polinomio $(1+x + x^2+x^3+x^4+x^5)^6$ che è uguale a $252$. (si poteva trovare in tanti modi, questo ne è uno!). Ora sappiamo il numero di eventi favorevoli ($252$) al quale dobbiamo moltiplicare $10! \cdot 5!$ poichè le donne le possiamo scegliere in $10!$ modi e analogamente per gli uomini. Pertanto la probabilità richiesta è pari a $\displaystyle \frac{252 \cdot 10! \cdot 5!}{15!} = \frac{12}{149}$.
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Re: Test finale senior 1997

Messaggioda Livex » 09/09/2015, 15:43

Per quanto possa valere, a me viene lo stesso risultato di Giovanni98

Giovanni per calcolare quel coefficiente hai usato cosa?
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Re: Test finale senior 1997

Messaggioda burt » 09/09/2015, 16:01

Scusate ragazzi , errore banalissimo volevo dire 12/1001 , giovanni non so dire quale delle due è corretta, chiedo l intervento di forza maggiori , drago , lucaboss , cip999 , o chiunque altro sia certo che di sapere quale soluzione è corretta! , comunque avevo solo per distrazione invertito denominatore e numeratore..comunque si giovanni i casi totali si calcolano propio con 15!/10!x5! , che viene 3003 , ma poi si semplifica con un tre di sopra e dunque la frazione mi viene 12/1001 e non 36/3003 , che sono la stessa cosa. Ho rifatto i calcoli e ho trovato un errore , ora mi viene 36/429 che semplificato fa 12/143 , non ci credo :oops:
Ultima modifica di burt il 09/09/2015, 16:22, modificato 7 volte in totale.
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Re: Test finale senior 1997

Messaggioda Giovanni98 » 09/09/2015, 16:03

Livex per calcolarlo ho scritto la potenza come prodotto e poi ho visto in quanti modi usciva $x^5$ come prodotto di $x^4$ per 1 , come prodotto di $x^2 \times x^3$ ecc.
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Re: Test finale senior 1997

Messaggioda burt » 09/09/2015, 16:08

Giovanni scusa ma le donna da inserire sono 5 o non so contare( probabile ) ?
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Re: Test finale senior 1997

Messaggioda Giovanni98 » 09/09/2015, 19:27

Si, ovvio che sono 5 xD
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