Teorema della potenza di un punto.

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

Teorema della potenza di un punto.

Messaggioda Gizeta » 14/01/2014, 20:49

Questo argomento sarebbe da esplorare a fondo, ma per ora mi limito alla definizione e ad un fatterello interessante.

Data una circonferenza [tex]\Gamma[/tex] e un punto [tex]P[/tex] nel piano tracciamo una qualunque retta passante per [tex]P[/tex] ed intersecante [tex]\Gamma[/tex] in [tex]X[/tex] e [tex]Y[/tex].
Definiamo potenza di [tex]P[/tex] rispetto alla circonferenza [tex]\Gamma[/tex], e lo indichiamo con la notazione [tex]pow_{\Gamma}(P)[/tex], il prodotto [tex]PX\cdot PY[/tex] [si intende la misura dei due segmenti PX e PY].

Fatto interessante: La potenza di un punto rispetto ad una circonferenza è invariante rispetto alla retta scelta, ossia tracciate due rette passanti per [tex]P[/tex] e interesecanti [tex]\Gamma[/tex] rispettivamente nei punti (X,Y) e (X',Y') della circonferenza vale

[tex]PX\cdot PY=PX'\cdot PY'[/tex].

Dimostratelo se vi va (è piuttosto semplice) :D
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Re: Teorema della potenza di un punto.

Messaggioda lucaboss98 » 19/01/2014, 18:56

Vabbè, visto che non lo fa nessuno faccio io:
Dimostro la similitudine fra i triangoli [tex]PXY'[/tex] e [tex]PX'Y[/tex].
I) [tex]\angle{XPY'} = \angle{X'PY}[/tex] perchè è lo stesso.
II) [tex]\angle{PY'X} = \angle{PYX'}[/tex] perchè sottendono lo stesso arco [tex]XX'[/tex].
Quindi:
[tex]\frac{PX}{PY'} = \frac{PX'}{PY}[/tex]
Ed allora:
[tex]PX \cdot PY = PX' \cdot PY'[/tex].

Inoltre questo viene chiamato Teorema delle Secanti.
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Re: Teorema della potenza di un punto.

Messaggioda Drago » 19/01/2014, 19:22

E in che modo la potenza è funzione della distanza dal centro?
E quindi qual è il luogo dei punti con una stessa potenza?
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Re: Teorema della potenza di un punto.

Messaggioda lucaboss98 » 19/01/2014, 20:22

Drago ha scritto:E in che modo la potenza è funzione della distanza dal centro?
E quindi qual è il luogo dei punti con una stessa potenza?


Per il primo:
Presi due punti [tex]X; Y[/tex] tali che [tex]P,X,O,Y[/tex] sono allineati.
Si ha che [tex]pow_{\Gamma}(P) = PX \cdot PY[/tex]. Ma [tex]PY=PX+2r[/tex]. Allora [tex]pow_{\Gamma}(P) = PX \cdot (PX+2r)[/tex]. Posto [tex]a=PX+r[/tex] (distanza dal centro), si ha che [tex]pow_{\Gamma}(P) = (a–r)(a+r) = a^2 – r^2[/tex].
Mentre il luogo dei punti con una stesso potenza è una circonferenza di centro [tex]O[/tex] , lo stesso della circonferenza.

Corretto? :D
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Re: Teorema della potenza di un punto.

Messaggioda Salvador » 20/02/2017, 10:28

Quali possono essere le più utili applicazioni di ciò?
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