Tanti numeri composti

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Tanti numeri composti

Messaggioda Salvador » 18/05/2017, 12:34

IUSS 2014-2015
Discutere sulla verità della seguente affermazione:
"per ogni intero positivo $n$ esiste una sequenza di $n$ numeri composti".
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda parisgermain98 » 18/05/2017, 12:55

(n+1)!+2
(n+1)!+3
...
(n+1)!+n+1 sono n numeri composti per qualunque n, visto che si può raccogliere da ognuno di essi 2,3,...,n+1
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda mr96 » 18/05/2017, 14:28

Rilancio 1: è ancora vero con "$n$ non potenze di primi"?
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda DrJekyll00 » 18/05/2017, 14:51

Più o meno come il 4 della simulazione individuale olimato di quest'anno, no?
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda Veritasium » 18/05/2017, 15:00

mr96 ha scritto:Rilancio 1: è ancora vero con "$n$ non potenze di primi"?


Testo nascosto:
Scelgo $n$ coppie di primi $(p_k, q_k)$ di modo che i $2n$ primi siano tutti distinti e considero la bella congruenza [tex]x \equiv -k \pmod {(p_k \cdot q_k)^{\alpha_k}}, k = 1, ..., n[/tex] (con $\alpha_k \neq 0$ e tale che tutti i moduli siano maggiori di $n$) che ha soluzione per $CRT$ essendo i numeri su cui prendiamo i moduli a due a due coprimi e ci fa vincere considerando $x+1, ..., x+n,$ ciascuno divisibile per almeno due potenze di primo.
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda mr96 » 18/05/2017, 15:05

Ok :)

Rilancio 2: è ancora vero con "$n$ non potenze perfette"?

@DrJekyll: beh no, sono abbastanza diversi...
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda Veritasium » 18/05/2017, 15:14

mr96 ha scritto:Ok :)

Rilancio 2: è ancora vero con "$n$ non potenze perfette"?

@DrJekyll: beh no, sono abbastanza diversi...


Testo nascosto:
Supponiamo sia falso e sia $N$ il più grande intero positivo tale che esistono $N$ non potenze perfette consecutive. Ciò significa che in ogni lista $a,
a+1, ..., a+N$ di $N+1$ interi positivi consecutivi c'è almeno una potenza perfetta. Da ciò segue che la densità asintotica delle potenze perfette è $\delta \ge \frac{1}{N+1}$ (formalmente, detto $P_n$ l'insieme delle potenze perfette minori o uguali di $n$ e $c(P_n)$ la sua cardinalità, $lim_{n \to \infty} \frac{c(P_n)}{n} \ge \frac{1}{N+1}$.
Tuttavia la densità asintotica delle potenze perfette è $lim_{n \to \infty} \frac{n^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{3}} + ... }{n} = 0,$ assurdo.


DrJekyll00 ha scritto:Più o meno come il 4 della simulazione individuale olimato di quest'anno, no?

Diciamo che il rilancio 2 può ricordare, infatti questo qua sopra è un lemma che ho usato nella soluzione del 4 in gara
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda mr96 » 18/05/2017, 15:24

E per ora ho finito i rilanci mi sa :roll:
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda Veritasium » 18/05/2017, 15:26

mr96 ha scritto:E per ora ho finito i rilanci mi sa :roll:

Noo dai era divertente! Provo a inventarmi qualcosa io allora
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda Lasker » 18/05/2017, 17:15

Rilancio 3: è ancora vero con "n numeri che non si possono scrivere come somma di due quadrati"?
Testo nascosto:
un po' fiacco come rilancio, ma pazienza
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
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