Tanti numeri composti

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Re: Tanti numeri composti

Messaggioda Veritasium » 18/05/2017, 18:49

:
Lasker ha scritto:Rilancio 3: è ancora vero con "n numeri che non si possono scrivere come somma di due quadrati"?
Testo nascosto:
un po' fiacco come rilancio, ma pazienza


Testo nascosto:
Sì! Infatti se $n$ ha un fattore congruo a $3$ $\pmod 4,$ $n$ non è somma di due quadrati. Altrimenti usando Legendre si avrebbe $a^2 \equiv -b^2 \pmod p \Longrightarrow 1 = \displaystyle{(\frac{-b^2}{p}) =
(\frac{-1}{p}) \cdot (\frac{b^2}{p}}) = -1$ assurdo. Ora scelgo $n$ primi congrui a $3$ $\pmod 4$ e faccio la solita congruenza con CRT.

Per dimostrare che quei primi sono infiniti basta che per assurdo suppongo siano finiti e considero il doppio del quadrato del loro prodotto e sommo $1$: è congruo a $3$ modulo $4$ ma non ha fattori congrui a $3$ modulo $4$, assurdo.
Ultima modifica di Veritasium il 18/05/2017, 19:40, modificato 1 volta in totale.
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda Salvador » 18/05/2017, 19:39

Sembrerebbe che questo post abbia avuto un certo successo :lol:
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda Lasker » 18/05/2017, 19:42

Beh il problema originale è carino e strafamoso, e si presta a generalizzazioni random, quindi mi sembra naturale :lol:
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda Salvador » 18/05/2017, 20:55

Strafamoso?
Io non l'avevo mai visto :lol:
È l'unico della prova IUSS che non mi è riuscito subito
Salvador
 
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda Veritasium » 18/05/2017, 21:04

Salvador ha scritto:Strafamoso?
Io non l'avevo mai visto :lol:
È l'unico della prova IUSS che non mi è riuscito subito

Credo sia tra i tre problemi olimpici base più noti per antonomasia :D
Ed è già uscito almeno 1/2 volte sul forum!
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda enigma » 19/05/2017, 10:22

Attenzione che per essere somma di due quadrati la condizione non è non avere primi congrui a $3 \mod 4$, ma che tutti quei primi abbiano esponente pari. Giusto per curiosità, anche la versione con le somme di quadrati si può fare con la stessa idea delle potenze perfette (ossia stimando la densità)-e naturalmente l'avere densità $0$ è una proprietà più forte. Serve un metodo per crivellare in qualche modo usando i primi congrui a $3 \mod 4$; è un interessante esercizio e se non vi viene trovate una soluzione ad esempio qui o qui.
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Re: Tanti numeri composti

Messaggioda Salvador » 19/05/2017, 22:46

Veritasium ha scritto:
Salvador ha scritto:Strafamoso?
Io non l'avevo mai visto :lol:
È l'unico della prova IUSS che non mi è riuscito subito

Credo sia tra i tre problemi olimpici base più noti per antonomasia :D
Ed è già uscito almeno 1/2 volte sul forum!

Ua
Non l'avevo mai visto :lol:
Gli altri due sono quello del polinomio coi tre interi $a,b,c$ distinti e quale?
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