[L05] Tante potenze, forse troppe... o forse no?

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

[L05] Tante potenze, forse troppe... o forse no?

Messaggioda Gerald Lambeau » 28/07/2017, 21:46

Siano $n, m>1$ due interi fissati. Dimostrare che esistono infiniti interi positivi $l$ tali che l'equazione $x_1^n+x_2^n+\dots+x_n^n+x_{n+1}^n=l$ ammette almeno $m$ soluzioni $(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1})$ (gli $x_i$ sono tutti distinti tra di loro) negli interi positivi tali che siano tutte diverse (le soluzioni, dico).
Nota: due $(n+1)$-uple $(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1})$ e $(y_1, y_2, \dots, y_n, y_{n+1})$ si considerano diverse se e solo se non è possibile ottenere una dall'altra attraverso una permutazione dei suoi elementi.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: [L05] Tante potenze, forse troppe... o forse no?

Messaggioda Vinciii » 28/07/2017, 22:09

Per curiosità, da dove è preso?
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Re: [L05] Tante potenze, forse troppe... o forse no?

Messaggioda Gerald Lambeau » 28/07/2017, 22:22

Lo scrivo qua sotto, ma non andate a guardare la fonte perché la soluzione è praticamente identica a quella di questo problema, che è una sua generalizzazione:
Testo nascosto:
Cesenatico 2014 - 5.
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Re: [L05] Tante potenze, forse troppe... o forse no?

Messaggioda Veritasium » 28/07/2017, 22:52

Gerald Lambeau ha scritto:Siano $n, m>1$ due interi fissati. Dimostrare che esistono infiniti interi positivi $l$ tali che l'equazione $x_1^n+x_2^n+\dots+x_n^n+x_{n+1}^n=l$ ammette almeno $m$ soluzioni $(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1})$ (gli $x_i$ sono tutti distinti tra di loro) negli interi positivi tali che siano tutte diverse (le soluzioni, dico).
Nota: due $(n+1)$-uple $(x_1, x_2, \dots, x_n, x_{n+1})$ e $(y_1, y_2, \dots, y_n, y_{n+1})$ si considerano diverse se e solo se non è possibile ottenere una dall'altra attraverso una permutazione dei suoi elementi.

Se non sbaglio è il trucco di
Testo nascosto:
Cese 5 di qualche anno fa

Che
Testo nascosto:
$\binom{N}{n+1}$ è un polinomio di grado $n+1$ in $N$ e $(n+1)N^n$ é di grado $n$ da cui giustificando bene segue la tesi.
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Re: [L05] Tante potenze, forse troppe... o forse no?

Messaggioda Gerald Lambeau » 28/07/2017, 23:11

Mi aspettavo che sarebbe durato di più! :lol: :lol: :lol:
Comunque (a parte i dettagli formali che possiamo anche ignorare) è giusta.
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