[L02] [tex]\tan\alpha \times \tan\beta[/tex]

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

[L02] [tex]\tan\alpha \times \tan\beta[/tex]

Messaggioda AlexTheBoss » 11/08/2019, 14:43

Qualche giorno fa ho risolto questo problema:

E' dato un triangolo scaleno [tex]ABC[/tex] avente un angolo ottuso nel vertice [tex]C[/tex]; siano [tex]\alpha[/tex], [tex]\beta[/tex] e [tex]\gamma[/tex], rispettivamente, gli angoli nei vertici [tex]A[/tex], [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex] del triangolo. Da [tex]C[/tex] si conducano due segmenti, perpendicolari ai lati [tex]AC[/tex] e [tex]BC[/tex], che incontrano il lato [tex]AB[/tex] in [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex]. Verificare che il rapporto fra l'area del triangolo [tex]HKC[/tex] e quella del triangolo [tex]ABC[/tex] è pari a [tex]\tan\alpha[/tex][tex]\times[/tex][tex]\tan\beta[/tex].

Ho trovato questo problema sul libro "Geometria piana per le gare di matematica" di Carlo Cassola (p.96, problema 5) e siccome mi è piaciuto come problema ho deciso di postarlo.
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Re: [tex]\tan\alpha[/tex][tex]\times[/tex][tex]\tan\beta[/te

Messaggioda afullo » 11/08/2019, 16:11

La presenza della trigonometria in questo modo suona interessante! Quanto a difficoltà, come lo classificheresti, avendolo risolto di tuo? ;)
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Re: [tex]\tan\alpha[/tex][tex]\times[/tex][tex]\tan\beta[/te

Messaggioda AlexTheBoss » 11/08/2019, 16:39

Secondo me non è troppo difficile, sul libro viene indicato con due asterischi su tre quando ci sono problemi da un asterisco molto più impegnativi. Forse non l'ho trovato così difficile perchè non ha richiesto particolari costruzioni geometriche con cui ho poca dimistichezza
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Re: [tex]\tan\alpha[/tex][tex]\times[/tex][tex]\tan\beta[/te

Messaggioda afullo » 11/08/2019, 17:56

Forse la difficoltà è ritoccata verso l'alto proprio per l'uso un po' atipico della trigonometria. Per la nostra classificazione interna potrebbe essere un L02 o un L03, no?
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Re: [tex]\tan\alpha[/tex][tex]\times[/tex][tex]\tan\beta[/te

Messaggioda AlexTheBoss » 11/08/2019, 18:18

Anche secondo me è quella la difficoltà
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Re: [tex]\tan\alpha[/tex][tex]\times[/tex][tex]\tan\beta[/te

Messaggioda 0004POWER » 11/08/2019, 20:22

Sicuramente non è un problema da Gara di Archimede, ma neanche da Cesenatico (al limite potrebbe essere un Cesenatico 1 facile). Quindi anch'io direi come livello un L02/L03 però più tendente al L02
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Re: [tex]\tan\alpha[/tex][tex]\times[/tex][tex]\tan\beta[/te

Messaggioda ronny » 11/08/2019, 22:24

Per ora non riesco a risolverlo... mi è venuto in mente che il rapporto tra le aree equivale a quello di KM e AB visto che i due triangoli hanno al stessa altezza.
Sono sulla strada giusta se cerco quel rapporto?
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Re: [tex]\tan\alpha\times\tan\beta[/tex]

Messaggioda ronny » 12/08/2019, 10:13

Potete darmi un indizio per iniziare il ragionamento. Ho provato varie costruzioni, ma ancora non trovo la strada giusta. :(
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Re: [tex]\tan\alpha[/tex][tex]\times[/tex][tex]\tan\beta[/te

Messaggioda AlexTheBoss » 12/08/2019, 10:21

Testo nascosto:
Scrivi il prodotto delle tangenti in funzione di [tex]AC[/tex], [tex]BC[/tex], [tex]HC[/tex] e [tex]CK[/tex]
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Re: [tex]\tan\alpha\times\tan\beta[/tex]

Messaggioda ronny » 12/08/2019, 11:07

Testo nascosto:
[tex]\tan\alpha \tan\beta = \frac{HC}{AC} \frac{KC}{BC}[/tex]

forse rielaborando così dovrei ricavare le aree?

[tex]\displaystyle \frac{\sin\alpha\sin\beta AC BC}{\cos\alpha\cos\beta}=KC KC[/tex]

ma non ci arrivo
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