"Successione con resto"

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

"Successione con resto"

Messaggioda mmaarrccoo » 26/03/2017, 21:16

Ciao a tutti, qualcuno può darmi qualche dritta su come svolgere questo quesito?

"Sia an una successione di interi tale che an = 6^n + 8^n per ogni n>=0. Quanto vale il resto della divisione di a83 per 49?

Grazie
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Re: "Successione con resto"

Messaggioda Lasker » 26/03/2017, 21:48

Idea 1:
Testo nascosto:
Scrivi $6^n+8^n$ come $(7-1)^n+(7+1)^n$ ed espandi con il teorema binomiale, la maggior parte dei termini della somma ti vengono multipli di $49$ e ti avanza solo $7\cdot 83-1+7\cdot 83+1=1162$ che ha resto $35$ diviso per $49$.

Idea 2:
Testo nascosto:
Usa il teorema di Eulero-Fermat per trovare $6^{83}+8^{83}\equiv 6^{-1}+8^{-1} \pmod {49}\equiv \frac{7}{24} \pmod {49}$ e adesso notando che $24\cdot 2=48\equiv -1 \pmod {49}$ puoi dedurre che $\frac{1}{24}\equiv -2 \pmod {49}$ da cui la risposta è $7(-2)\equiv -14\equiv 35 \pmod {49}$

Sono strade diverse, la prima è più facile mentre la seconda è più standard (uso teoria delle congruenze solo nella seconda).
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
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Re: "Successione con resto"

Messaggioda mmaarrccoo » 27/03/2017, 12:13

Perfetto, grazie mille :D
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