Strani resti

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Strani resti

Messaggioda Giovanni98 » 01/04/2015, 20:09

Determinare $x $ sapendo che $x <1000$ e che
$x \equiv_7 5$
$x \equiv_{11} 8$
$x \equiv_{13} 7$
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Re: Strani resti

Messaggioda Gerald Lambeau » 01/04/2015, 21:16

Da demolire con il teorema cinese :twisted: :
pongo [tex]b_i= \prod_{j \ne i} m_j[/tex] dove [tex]m_i[/tex] (o [tex]m_j[/tex]) indica il modulo uguale a [tex]i[/tex] (o [tex]j[/tex]). Ho [tex]b_7=143, b_{11}=91, b_{13}=77[/tex].
Sia poi [tex]c_i[/tex] l'inverso di [tex]b_i[/tex] modulo [tex]m_i=i[/tex]. Ho [tex]c_7=5, c_{11}=4, c_{13}=12[/tex].
Sia poi [tex]a_i[/tex] il resto di [tex]x[/tex] modulo [tex]m_i=i[/tex].
Ho che [tex]N = \sum_{i} a_ib_ic_i =3575+2912+6468=12955[/tex]
[tex]x \equiv N \equiv 943 \pmod {7 \cdot 11 \cdot 13}[/tex].
Oltre ad essere il più piccolo numero di quella classe di resto modulo [tex]1001[/tex], [tex]943[/tex] è anche l'unico [tex]< 1000[/tex].
Possiamo poi facilmente verificare che rispetta le ipotesi, quindi [tex]x=943[/tex].
Poi ci sarebbero tutti i risultati negativi, ma non penso ci interessino dato che sono infiniti :D (ma comunque della forma [tex]943-k1001[/tex] con [tex]k[/tex] intero positivo).
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: Strani resti

Messaggioda Livex » 01/04/2015, 22:01

E' di qualche vecchia edizione di tor vergata?
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Re: Strani resti

Messaggioda Giovanni98 » 01/04/2015, 22:10

Si, mi sto allenando un pò su quelli

Comunque la soluzione é corretta
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