Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Rho33 » 18/05/2016, 20:13

Dimostrare che per ogni primo $p$ esistono infiniti $n$ tali che $p \mid 2^n-n$ .

Testo nascosto:
Basta prendere $n=(kp-1)(p-1)$ con $k \in \mathbb{Z^+}$ . Infatti la tesi è equivalente a $2^n \equiv n \pmod p$ , ma allora, dato che

$n=(kp-1)(p-1) \equiv 1 \pmod p$ , vale

$\displaystyle
2^n=(2^{p-1})^{kp-1} \underset{\substack{\text {FLT}}} \equiv 1^{kp-1} \equiv 1 \equiv n \pmod p$ .
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Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Rho33 » 24/06/2016, 18:18

Consideriamo l'insieme $$D= \left \{ n \in \mathbb{N} : n \mid 2^n +1 \right \} $$

a) Determinare tutti i primi in $D$
b)Determinare tutte le potenze di primi che appartengono a $D$
c)Determinare tutti gli elementi di $D$ prodotto di due primi
d)Dimostrare che tutti gli elementi di $D$ sono multipli di $3$
e) Determinare tutti gli elementi di $D$ della forma $p^2q$ con $p,q$ primi distinti.

Testo nascosto:
a) $n=p$ quindi $2^p \equiv -1 \pmod p \iff 3 \equiv 0 \pmod p \iff p=3$. Il caso $p=2$ non porta a risultati.

d)Logicamente viene prima il d)! Infatti: sia $p$ il P.P.P. che divide $2^n+1$. Cioè $2^n \equiv -1 \pmod p \iff 2^{2n} \equiv 1 \pmod p$. Segue che:

$\left \{ {\begin{array}xord_p(2) \mid 2n \\ ord_p(2) \mid p-1 \\ \end{array}} \right. \iff ord_p(2) \mid (2n,p-1)$

Ora, questo MCD non può essere tante cose, infatti: per assurdo $(2n,p-1)=d > 2$. Allora $d \mid p-1$ e quindi $d$ ha dei primi più piccoli di $p$ , assurdo!
Allora $d=2$ e quindi:

$\bullet \ \ ord_p(2)= 2 \rightarrow \ \ p=3$

$\bullet \ \ ord_p(2)=1 \rightarrow $ assurdo!

b) $n=3^k$ quindi $2^{3^k} \equiv -1 \pmod {3^k}$ . Cerco $v_3(2^{3^k}+1^{3^k})$, ma è ovvio che tutte le ipotesi per applicare LTE sono verificate, quindi $v_3(2^{3^k}+1^{3^k})=v_3(2+1)+ v_3(3^k)=k+1 \iff 3^{k+1} \mid \mid 2^{3^k}+1$. Tutte le potenze di $3$ vanno bene.


c)$n=pq$ . WLOG $p=3$. Quindi $n=3q$ . Spezzo la congruenza in :

$\left \{ {\begin{array}x2^{3q} \equiv -1 \pmod {3} \\ 2^{3q} \equiv -1 \pmod q \\ \end{array}} \right. $

Dalla seconda, per FLT, segue che $q=3$ quindi $9$ soddisfa.

e)$n=p^2q$ . Distinguo in due casi basandomi sul d) :

$\bullet \ \ n=9q $ : spezzo la congruenza in

$\left \{ {\begin{array}x2^{9q} \equiv -1 \pmod {9} \\ 2^{9q} \equiv -1 \pmod q \\ \end{array}} \right.$

Dalla seconda segue che $q=19$ che verifica pure la prima (facendo i conti)

$\bullet \ \ n=3p^2$ : spezzo la congruenza in

$\left \{ {\begin{array}x2^{3p^2} \equiv -1 \pmod {3} \\ 2^{3p^2} \equiv -1 \pmod p \\ \end{array}} \right.$

Dalla seconda segue che $p=3$ , assurdo!
Ultima modifica di Rho33 il 25/06/2016, 14:34, modificato 1 volta in totale.
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Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Gerald Lambeau » 24/06/2016, 21:24

Rho33 ha scritto:Logicamente viene prima il d)!

Infatti lo dovresti mettere anche prima del punto b), altrimenti potresti aver perso le potenze di primi diversi da $3$. Oppure dici che $2^{q^k}=2^{q \cdot q^{k-1}} \equiv 2^{q^{k-1}} \pmod{q}$ e quindi, proseguendo per induzione, $2^{q^k} \equiv 2 \pmod{q}$, da cui $q=3$.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Rho33 » 25/06/2016, 14:37

Corretto, purtroppo ci ho pensato una volta spento il pc che andava messo come secondo! Non capisco però perché l'ordine sia diverso. Cioè, senza il $d$ non si va da nessuna parte!
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