Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda alexthirty » 31/03/2016, 22:10

Zsigmondy direi che è un po illegale per Cesenatico... In alternativa basta banalmente dire che non esistono due cubi con differenza 8. Questo è vero mostrando un caso base e facendo una banalissima indizione mostrando chei cubi si allontanano sempre più (anche se penso proprio che dire che non esistono due cubi di differenza 8 basti e avanzi)
L'altro caso invece è possibile e dovrebbe portare alla soluzione già trovata
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Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Rho33 » 31/03/2016, 22:17

Sì, più che altro era per il prio di citarlo una volta in una mia soluzione :lol: Grazie comunque :mrgreen:

EDIT: sì il secondo caso porta alla soluzione iniziale, ma io avevo supposto all'inizio $x,y \not =0$ per questo ho scritto "assurdo" .
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Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda alexthirty » 31/03/2016, 22:38

Rho33 ha scritto:Sì, più che altro era per il prio di citarlo una volta in una mia soluzione :lol: Grazie comunque :mrgreen:

EDIT: sì il secondo caso porta alla soluzione iniziale, ma io avevo supposto all'inizio $x,y \not =0$ per questo ho scritto "assurdo" .

Ah ecco :D non me n'ero accorto leggendola molto rapidamente
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Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda bern1-16-4-13 » 31/03/2016, 22:57

Rho33 ha scritto:$a^3-b^3=8 \rightarrow $ assurdo per Zsigmondy

già che c'eri potevi dire assurdo per FLT (Fermat last theorem)
mentre il mondo persiste nei suoi sanguinosi conflitti, la vera guerra è combattuta dai matematici
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Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Gerald Lambeau » 01/04/2016, 16:42

bern1-16-4-13 ha scritto:
Rho33 ha scritto:$a^3-b^3=8 \rightarrow $ assurdo per Zsigmondy

già che c'eri potevi dire assurdo per FLT (Fermat last theorem)

Volendo fare gli sboroni anche in $c^3-d^3=1$ negli interi positivi si poteva dire assurdo per Mihailescu.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Rho33 » 01/04/2016, 17:05

Ok, prometto di non farlo più :lol: :lol:
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Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda peppe » 02/04/2016, 23:37

Cesenatico 2014 - 1

Per ogni numero naturale n di 3 cifre decimali (quindi con la prima cifra diversa da zero), consideriamo il numero [tex]n_0[/tex] ottenuto da n eliminando le sue eventuali cifre uguali a zero. Per esempio, se n = 205 allora [tex]n_0[/tex] = 25.

Determinare il numero degli interi n di tre cifre per i quali [tex]n_0[/tex] è un divisore di n diverso da n.

Testo nascosto:
Visto che il divisore di n deve essere diverso da n, allora [tex]n_0\ne n[/tex] e quindi dobbiamo prendere in considerazione solo i numeri che hanno lo 0 o al posto delle decine, o al posto delle unità o ad entrambi i posti.

Iniziamo ad analizzare il caso si ha la cifra 0 sia al posto delle decine che al posto delle unità.
Possiamo scrivere il numero come [tex]100a+10b+c[/tex], dove a,b e c sono le tre cifre che compongono il numero e [tex]a\ne0[/tex] e [tex]b,c=0[/tex].
Abbiamo detto in precedenze che le cifre b e c sono pari a 0, di conseguenza [tex]n_o=a[/tex] e il rapporto fra [tex]n[/tex] e [tex]n_0[/tex] è [tex]n=100n_0[/tex] e quindi [tex]n_0\mid n[/tex] e i valori di [tex]a[/tex] possibili sono 9, quindi abbiamo 9 casi.

Adesso tocchiamo il caso in cui si ha la cifra 0 solo al posto delle unità.
Possiamo scrivere anche in questo caso il numero come [tex]100a+10b+c[/tex], dove a,b e c sono le tre cifre che compongono il numero e [tex]a,b\ne0[/tex] e [tex]c=0[/tex].
Come abbiamo appena affermato, la cifra di c è pari a 0 e quindi [tex]n_0=10a+b[/tex] e il rapporto fra [tex]n[/tex] e [tex]n_0[/tex] è [tex]n=100a+10b=10(10a+b)=10n_0[/tex] e quindi [tex]n_0\mid n[/tex]. In questo caso si hanno 90 casi, da cui però si devono togliere i casi nei quali le ultime cifre sono pari a 0, cioè 9, quindi abbiamo [tex]90-9[/tex] casi, cioè [tex]81[/tex].

Adesso tocchiamo il caso in cui si ha la cifra 0 solo al posto delle decine.
Possiamo scrivere anche in questo caso il numero come [tex]100a+10b+c[/tex], dove a,b e c sono le tre cifre che compongono il numero e [tex]a,c\ne0[/tex] e [tex]b=0[/tex]
Come abbiamo affermato, la cifra di b è pari a 0 e quindi [tex]n_0=10a+c[/tex], ponendo [tex]k[/tex] come un numero intero positivo, dobbiamo trovare i numeri che possono essere scritti come [tex]k*n_o=n[/tex] ovvero [tex]k*(10a+c)=100a+10b+c[/tex].
Subito possiamo notare che l'unità di [tex]k*c[/tex] dev'essere uguale a [tex]c[/tex], ma se [tex]k*c=c[/tex] allora [tex](k-1)*c \equiv 0 \pmod{5}[/tex] e quindi o [tex]k-1[/tex] o [tex]c[/tex] [tex]\equiv 0 \pmod{5}[/tex]. Per ipotesi sappiamo che [tex]1\le c \le9[/tex], mentre ricaviamo che [tex]1<k<10[/tex], in quanto se [tex]k=10[/tex], allora [tex]c=0[/tex], che va contro l'ipotesi, se, invece [tex]k=1[/tex] allora [tex]b,c\ne0[/tex], anche questa però va contro le ipotesi, per queste condizioni possiamo avere possiamo avere che [tex]k-1=5 \Rightarrow k=6[/tex] e [tex]c=5[/tex]. Adesso andiamo a sostituire i valori.
Se k=6
6(10a+c)=100a+c
60a+6c=100a+c
40a-5c=0
5c=40a
c=8a
Sappiamo che [tex]1\le c \le9[/tex], quindi l'unico multiplo di 8 compreso fra questi numeri è proprio 8.
Quindi l'unica soluzione per questo caso è [tex]c=8[/tex] [tex]a=1[/tex]. Possiamo verificare che [tex]18\mid108[/tex]

Se c=5, k sarà dispari, in caso di numero pari al posto di c dovevo essere presente 0
k(10a+5)=100a+5
k(2a+1)=20a+1

Proviamo per i k dispari compresi fra 1 e 10
[tex]k=3 \Rightarrow 6a+3=20a+1 \Rightarrow 14a-2=0 \Rightarrow[/tex] Soluzione non accettabile in quanto il valore di [tex]a[/tex] sarebbe decimale e non intero come invece affermato dall'ipotesi
[tex]k=5 \Rightarrow 10a+5=20a+1 \Rightarrow 10a-4=0 \Rightarrow[/tex] Soluzione non accettabile in quanto il valore di [tex]a[/tex] sarebbe decimale e non intero come invece affermato dall'ipotesi
[tex]k=7 \Rightarrow 14a+7=20a+1 \Rightarrow 6a-6=0 \Rightarrow a=1 \Rightarrow[/tex] Soluzione accettabile
[tex]k=9 \Rightarrow 18a+9=20a+1 \Rightarrow 2a-8=0 \Rightarrow a=4 \Rightarrow[/tex] Soluzione accettabile
Le soluzioni accettabili per [tex]c=5[/tex] sono [tex]k=7[/tex] e [tex]k=9[/tex] e cioè [tex]a=1[/tex] e [tex]a=4[/tex].
Quindi i due numeri sono 105 e 405.
Possiamo facilmente verificare che [tex]15\mid105[/tex] e [tex]45\mid405[/tex]
Nota: Non sapevo che fare e visto che c'erano 4 casi ho provato con i tentativi

Quindi abbiamo in totale [tex]9+81+1+2=93[/tex] casi nei quali [tex]n_0\mid n[/tex] con [tex]n_0\ne n[/tex]


Quanto può essere valutato?
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Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Rho33 » 07/04/2016, 16:59

Cesenatico 2001 3

Si consideri l'equazione $x^{2001}=y^x$

a) Determinare tutte le coppie $(x,y)$ di soluzioni in cui $x$ è un primo e $y$ è un intero positivo.

b) Determinare tutte le coppie $(x,y)$ di soluzioni in cui $x,y$ sono interi positivi.

Soluzione:

Testo nascosto:
a) Pongo $x=p$ . Chiaramente i fattori primi presenti nella fattorizzazione di $x$ sono tutti e soli i fattori primi presenti in $y$ altrimenti non potrebbe sussistere l'uguaglianza. Da ciò si evince che $y=p^k$ e quindi deve valere $p^{2001}=p^{kp} \iff 2001=kp$ e quindi, notando che $2001=3 \cdot 23 \cdot 29 $ le soluzioni sono $(3, 23 \cdot 29) ; (23, 3 \cdot 29); (29,3 \cdot 23)$

b) $x^{2001}=y^x \iff y=x^{\frac {2001}{x}}$ . Ora distinguo in casi:

$\bullet x \mid 2001 \rightarrow $ si ottengono le soluzioni con lo stesso metodo precedente, stavolta considerando tutti i divisori di $2001$ e non soltanto i fattori primi.

$\bullet x \not \mid 2001 \rightarrow x=a^b$ con $a,b$ entrambi positivi. Allora $y=a^{\frac {2001b}{a^b}} $ e $\dfrac {2001b}{a^b}$ deve essere intero . Esso è intero $\iff b=1$ e $a \mid 2001 $ poichè per $b>1$ , gli esponenti dei primi presenti in $2001b$ devono essere multipli di $b$ ma ciò è impossibile perchè il numeratore cresce linearmente mentre il denominatore esponenzialmente.

P.S. So che l'ultima parte fa schifo, come si potrebbe aggiustare?
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Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda unofficial_ » 07/04/2016, 17:35

Testo nascosto:
Io per b) ho semplicemente messo entrambi i membri sotto radice x-esima, da cui si deduce che x divide 2001, poiché y è intero.
A quel punto basta controllare tutti i possibili casi per x tranne quelli in cui x è primo perché li abbiamo già considerati per a).
O sbaglio?
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Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Rho33 » 09/04/2016, 17:48

Eh sì, sono io che ho fatto un caso in più inutile, sbagliando! Il fatto che $x \mid 2001 $ era immediato, ma ho distinto lo stesso :lol: :oops:
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