Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Federico II » 08/11/2015, 17:27

Si può anche andare a capo è vero, ma non credo che influisca sulla valutazione :D
Il responsabile della sala seminari
Avatar utente
Federico II
 
Messaggi: 439
Iscritto il: 14/05/2014, 14:53

Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda mr96 » 08/11/2015, 18:38

Federico II ha scritto:Si può anche andare a capo è vero, ma non credo che influisca sulla valutazione :D

No, peró una dimostrazione ordinata penso che invogli il correttore a cercare di capire anche i passaggi non chiarissimi, mentre se è difficilmente leggibile il correttore non si spreca nemmeno a provare a capirla e toglie punti, e questo secondo me vale sia per la grafia (inutile in questo caso) che per l'organizzazione degli spazi sul foglio
mr96
 
Messaggi: 1394
Iscritto il: 11/02/2014, 20:37

Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Federico II » 08/11/2015, 22:36

Capisco, grazie del consiglio. Per il resto, ci sono passaggi che dovrei specificare meglio?
Il responsabile della sala seminari
Avatar utente
Federico II
 
Messaggi: 439
Iscritto il: 14/05/2014, 14:53

Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda afullo » 09/11/2015, 9:58

mr96 ha scritto:
Federico II ha scritto:Si può anche andare a capo è vero, ma non credo che influisca sulla valutazione :D

No, peró una dimostrazione ordinata penso che invogli il correttore a cercare di capire anche i passaggi non chiarissimi, mentre se è difficilmente leggibile il correttore non si spreca nemmeno a provare a capirla e toglie punti, e questo secondo me vale sia per la grafia (inutile in questo caso) che per l'organizzazione degli spazi sul foglio

Se scrivi in LaTeX (un documento puro, non col renderer che c'è qui sulla board) usi math o displaymath proprio a seconda delle formule che vuoi evidenziare di più o di meno. Direi che come impostazione possa essere utile per qualunque testo matematico...
afullo
 
Messaggi: 1247
Iscritto il: 13/03/2013, 22:06

Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda burt » 12/11/2015, 13:51

la tracciala trovate negli archivi, e il n 17 del 2010 , in sostanza cmq devo dire quante sono le permutazioni di 7 numeri t.c. la somma di 4 numeri consecutivi sia sempre divisibile per 3 , i numeri sono :21,31,41,51,61,71,81.dato che la somma dei 4 termini consecutivi deve essere =0 mod 3 a noi nteresa solo il resto mod3 dei numeri , abbiamo quindi 21, 51,81 =o 31,61,=0 41,61=0 mod3. sia a1 , a2 , a3 .. una successione buona , i primi 4 termini possono essere una qualsiasi permutazione di (1,2,1,2,) oppure di (0,0,1,2) infatti lasomma di a1+a2+a3+a4 deve essere o 0 ( che non si puo ottenere ) o 3 oppure 6 , risultati maggiori non si possono ottenere dato che a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=6. dato che a1+a2+a3+a4=0 mod 3 si ha che a2+a3+a4= -a1 dunque dato che anche a2+a3+a4a+a4+a5 deve essere congruente a 0 mod3 si ha che a5=a1 , itinerando il ragionamento si ha che an=a(n+4) mod 3.consideriamo che a1,a2,a3,a4 sia una permutazione di (1,2,1,2 ) allora a5 deve essere a5=1 o 2 mod 3 , assurdo perche gli an=1 o 2 sono gia stati tutti utilizzati , quindi a1,a2,a3,a4 saranno una permutazione di (0,0,1,2) data la condizione an= a(n+4) si ha che dati i primi 4 elementi tutti gli altri sono forzati ( considerando il loro valore mod 3). supponiamo che a4 sia diverso da 0 mod 3 , allora tutti e due gli am=0 mod 3 ( con m minore di 4 ) " hanno un loro corrispondente " infatti m+4 e sempre minore o uguale a 7 , dunque avremo bisogno di 4 termini =0 mod 3 , assurdo . Al contrario se a4=0 mod 3 dato che a8 non esiste tale successione puo esistere , dunque a4 e certamente = 0 mod 3 . dunque abbiamo che nei primi 4 termini il numer =0 mod 3( ha scelta in tre caselle , l altro e forzato in a4 il dunque abbiamo) 3 per 3!( perche abbiamo tre numeri diversi con 3 posti disponibili) 3per3!per 2( poiche il numero =1 mod 3 ha due possibilita) 3per3!per2per2 (perche ci sono due numeri diversi =1 mod 3 )3per3!per2per2per2( perche i numeri =2 mod 3 sono forzati ma ce ne sono due diversi ) dunque le combinazioni buone sono 144 . spero si capisca tutto , ho cercato di spiegare propio tutto per essere rigoroso , volevo meterlo in combinatoria ma me ne sono accorto troppo tardi che lo avevo messo qui e non so come spostarlo , se qualcuno con i superpoteri tipo afullo lo vuole fare ben venga grz a tutti in anticipo!
" l ingegno e la furbizia risiedono nell imparare dall esperienza" cit. Roberto colli " la creatività non è altro che l inteligenza che si diverte " albert einstain
burt
 
Messaggi: 346
Iscritto il: 11/06/2015, 23:09

Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Rho33 » 27/02/2016, 19:12

Cesenatico 1998 1
Se [tex]x[/tex] è un numero reale positivo, si denoti con [tex][x][/tex] la parte intera di [tex]x[/tex] , cioè il massimo intero [tex]n \leq x[/tex] . Si calcoli la somma: [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{1000000} [\sqrt n][/tex] .

Soluzione:

Testo nascosto:
Si osservi che [tex][\sqrt n] = k[/tex] per [tex]k^2 \leq n \leq (k+1)^2-1 \iff k^2 \leq n \leq k^2 + 2k[/tex] , ovvero per [tex]2k+1[/tex] valori di [tex]n[/tex] .

Allora posso riscrivere la sommatoria come [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{999^2} [\sqrt n] +1000000 \iff \displaystyle \sum_{k=1}^{999} k(2k+1) +1000000 \iff \displaystyle 2 \sum_{k=1}^{999} k^2 + \displaystyle \sum_{k=1}^{999} k +1000000 \iff \dfrac {999 \cdot 1000 \cdot 1999}{3} + \dfrac {999 \cdot 1000}{2}= 666167500[/tex]

dove si sono usate le formule della somma dei primi [tex]k[/tex] quadrati e della somma dei primi [tex]k[/tex] naturali
Rho33
 
Messaggi: 489
Iscritto il: 16/09/2014, 11:14

Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Rho33 » 28/02/2016, 13:30

Cesenatico 2000 1:

Siano $a,b,c$ tre dispari consecutivi diversi tra loro. Chiamiamo "speciali" quegli interi con tutte le cifre uguali e che si possono scrivere come somma di quadrati de tre numeri dispari consecutivi $a,b,c$ .
a) Determinare tutti i numeri speciali di [tex]4[/tex] cifre.
b)Esistono numeri speciali di $2000$ cifre ?

Soluzione:
Testo nascosto:
a) Pongo $a=2k-1,b=2k+1,c=2k+3$ . I numeri cercati di $4$ cifre sono nella forma $x\cdot 10^3+x\cdot 10^2+x\cdot 10^1+x$ e deve valere la condizione $ x\cdot 10^3+x\cdot 10^2+x\cdot 10^1+x = a^2+b^2+c^2$ . Ora ricordando che i quadrati dispari sono $ \equiv 1 \pmod 4$ si ottiene che $10x+x \equiv 3 \pmod 4 \iff 3x \equiv 3 \pmod 4\iff x \equiv 1 \pmod 4 $ quindi $x=5,9 $ che sono i nostri candidati.

Ricordando ora che i quadrati dispari sono $ \equiv 1 \pmod 8$ si ottiene che $ 100x+10x+x \equiv 3 \pmod 8 \iff 111x \equiv 3 \pmod 8 \iff x \equiv 5 \pmod 8 $ , quindi l'unico candidato rimasto è proprio $x=5$ .

Ora deve valere $5555= a^2+b^2+c^2 \iff 5555= 4k^2-4k+1+4k^2+4k+1+4k^2+12k+9 \iff 12k^2+12k +11 -5555=0 $ che ha come soluzione $k=21 $ e sostituendo si ottiene $ a=41,b=43,c=45$

b) Per il punto a) si ottiene che l'unico candidato possibile è anche qui $x=5$ allora deve valere $5555...5555= 12k^2+12k +11$ dove vi sono $2000$ cifre $5$. Allora $5555...5555-11=12k^2+12k \iff 5555...5544=12k^2+12k $ con $1998$ cifre $5$ e le ultime due $4$ , ma guardando modulo $3$ si ottiene che $ 8 \equiv 0 \pmod 3 \rightarrow $ assurdo! . Non esistono numeri speciali in questo caso.
Rho33
 
Messaggi: 489
Iscritto il: 16/09/2014, 11:14

Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Rho33 » 01/03/2016, 0:46

Cesenatico 2002 1:
Determinare tutti gli interi positivi di tre cifre che sono uguali a 34 volte la somma delle loro cifre.

Soluzione:

Testo nascosto:
Siano $a,b,c$ le cifre in questione. La tesi è equivalente a dire che : $100a+10b+c= 34 \cdot (a+b+c) \iff 66a-24b-33c=0 \iff 22a=8b+11c \iff 11|b \iff b=0 \iff 2a=c $ . Allora provando $1 \leq a \leq 4 $ ( perchè per $a>4 $ la condizione non è rispettata) , abbiamo le soluzioni :

$\bullet a=1,c=2 \rightarrow 102$

$\bullet a=2,c=4 \rightarrow 204$

$\bullet a=3,c=6 \rightarrow 306$

$\bullet a=4,c=8 \rightarrow 408$
Rho33
 
Messaggi: 489
Iscritto il: 16/09/2014, 11:14

Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Rho33 » 01/03/2016, 1:03

Cesenatico 2003 1
Trovare tutti i numeri $n$ di tre cifre $(100 \leq n \leq 999)$ che sono uguali al numero formato dalle ultime tre cifre di $n^2$ .

Soluzione:

Testo nascosto:
Chiaramente deve valere $ n \equiv n^2 \pmod {1000} \iff n \cdot (n-1) \equiv 0 \pmod {1000}$ . Essendo $(n,n-1)=1$ perchè consecutivi , affichè valga $n \cdot (n-1)=k \cdot 2^3 \cdot 5^3$ , esattamente uno dei due sarà divisibile per $8$ ed esattamente uno dei due sarà divisibile per $125$ , da ciò distinguiamo $4$ comodi casi:

$\bullet \ \ n \equiv 0 \pmod {1000} \rightarrow $ assurdo perchè non sarebbe di tre cifre!
$\bullet \ \ n-1 \equiv 0 \pmod {1000} \rightarrow $ assurdo perchè non sarebbe di tre cifre!
$\bullet \ \ n \equiv 0 \pmod 8, n-1 \equiv 0 \pmod {125} \rightarrow$ bisogna trovare chi soddisfa tra $126,251,376,501,626,751,801,926$ e l'unico che soddisfa è $376$
$\bullet \ \ n-1 \equiv 0 \pmod 8, n \equiv 0 \pmod {125} \rightarrow$ bisogna trovare chi soddisfa tra $125,250,375,500,625,750,800,925$ e l'unico che soddisfa è $625$

Allora abbiamo trovato tutte le soluzioni.
Rho33
 
Messaggi: 489
Iscritto il: 16/09/2014, 11:14

Re: Stile dimostrativo - Teoria dei Numeri

Messaggioda Rho33 » 01/03/2016, 22:16

Cesenatico 2004 1
Osservando le temperature registrate a Cesenatico negli ultimi mesi di dicembre e gennaio, Stefano ha notato una strana coincidenza: in tutti i giorni di questo periodo (esclusi il primo e l'ultimo) la temperatura minima è stata la somma della temperatura minima del giorno precedente e del giorno successivo. Sapendo che il 3 dicembre la temperatura minima è stata di 5 gradi, ed il 31 gennaio è stata di 2 gradi, determinare la temperatura minima del 25 dicembre.

Soluzione:

Testo nascosto:
Siano $a_i$ le temperature dei giorni in questione, con $0 \leq i \leq 62 $. Sapendo che $a_3=5$ , si ottiene che :

$a_2=a_1+5 \rightarrow a_3= 5=a_2-a_1=a_2+a_4 \rightarrow a_4=-a_1=5+a_5 \rightarrow a_5=-a_1-5=-a_2=a_4+a_6=-a_1+a_6 \rightarrow a_6=-5 $

Infine $a_6==-5=a_5+a_7=-a_1-5+a_7 \rightarrow a_7=a_1$ BOOM!

Allora il termine generale della sequenza è chiaramente $a_{3k+i}=a_i \cdot (-1)^k$ e quindi $a_{62}=a_{6 \cdot {10} +2}=a_2 \cdot (-1)^{10}=a_2=2 $ per ipotesi.

Allora $a_{25}=a_{31}=a_{3 \cdot {10} +1}=a_1 \cdot (-1)^{10}=a_1=a_2-5=-3$
Ultima modifica di Rho33 il 03/03/2016, 16:29, modificato 1 volta in totale.
Rho33
 
Messaggi: 489
Iscritto il: 16/09/2014, 11:14

PrecedenteProssimo

Torna a Teoria dei Numeri

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti