Stile dimostrativo - Geometria

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

Stile dimostrativo - Geometria

Messaggioda afullo » 30/09/2015, 18:43

In questo topic trattiamo tutte le tematiche relative agli aspetti formali delle dimostrazioni, ovvero come scriverle bene, renderle chiare, e apprezzabili da lettori o da correttori, una volta che la parte sostanziale dell'esercizio è stata risolta.
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Re: Stile dimostrativo - Geometria

Messaggioda Rho33 » 26/02/2016, 20:18

Cesenatico 1991 1
Sia [tex]\Gamma[/tex] una circonferenza fissata e sia [tex]ABC[/tex] un triangolo in essa inscritto. Se [tex]A',B',C'[/tex] sono le intersezioni delle bisettrici uscenti rispettivamente da [tex]A,B,C[/tex] con [tex]\Gamma[/tex], si consideri il triangolo [tex]A',B',C'[/tex].

a) I triangoli [tex]A',B',C'[/tex] così ottenuti al variare di [tex]ABC[/tex] sono tutti i possibili triangoli inscritti in [tex]\Gamma[/tex] ? In caso contrario, quali limitazioni debbono soddisfare?

b) Dimostrare che le bisettrici di [tex]ABC[/tex] coincidono con le altezze di [tex]A',B',C'[/tex]

Soluzione:

Testo nascosto:
a) Con le ovvie notazioni, siano [tex]\alpha , \beta , \gamma[/tex] gli angoli interni di [tex]\triangle ABC[/tex] , chiaramente sia [tex]I[/tex] l'incentro, punto in cui le bisettrici [tex]AA',BB',CC'[/tex] concorrono. Allora chiaramente:

[tex]\angle CAI= \angle IAB = \dfrac {\alpha}{2}; \angle ABI= \angle IBC = \dfrac {\beta}{2}; \angle BCI= \angle ICA = \dfrac {\gamma}{2}[/tex] , inoltre, dato che [tex]\alpha + \beta + \gamma= \pi \rightarrow \dfrac {\alpha}{2}+\dfrac {\beta}{2}+\dfrac {\gamma}{2}= \dfrac {\pi}{2}[/tex].

Considerando ora il nuovo triangolo [tex]\triangle A'B'C'[/tex] , si ottiene che, ricordando che angoli che insistono sullo stesso arco sono congruenti,

[tex]\angle IC'A'= \angle IB'A' = \dfrac {\alpha}{2}; \angle IA'B'= \angle IC'B' = \dfrac {\beta}{2}; \angle IB'C'= \angle IA'C' = \dfrac {\gamma}{2}[/tex] , da ciò segue che [tex]\angle C'A'B'= \dfrac {\beta}{2}+\dfrac {\gamma}{2}= \dfrac {\pi -\alpha}{2} < \dfrac {\pi}{2}; \ \ \angle A'B'C'= \dfrac {\alpha}{2}+\dfrac {\gamma}{2}= \dfrac {\pi -\beta}{2} < \dfrac {\pi}{2}; \ \ \angle B'C'A= \dfrac {\beta}{2}+\dfrac {\alpha}{2}= \dfrac {\pi -\gamma}{2} < \dfrac {\pi}{2};[/tex].

Quindi tutti i triangoli [tex]\triangle A'B'C'[/tex] sono acutangoli.

b) Siano [tex]A'' = AA' \cap B'C'[/tex] e cicliche. Allora i triangoli [tex]A''A'C', B''A'B', C''B'C'[/tex] sono tutti rettangoli, poichè essi hanno come angoli adiacenti ai lati [tex]A'C', A'B', B'C'[/tex] angoli complementari ( [tex]\dfrac {\alpha}{2}+\dfrac {\beta}{2}+\dfrac {\gamma}{2}= \dfrac {\pi}{2}[/tex]) , quindi il terzo angolo è retto in tutti e tre.
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Re: Stile dimostrativo - Geometria

Messaggioda Rho33 » 26/02/2016, 21:13

Cesenatico 1993 1
Calcolare l'area della regione colorata delimitata dai tre semicerchi di diametri [tex]AB, BC, AC[/tex] sapendo che il segmento [tex]CH[/tex] è lungo [tex]\sqrt 3[/tex], dove [tex]H[/tex] è il punto del semicerchio di diametro [tex]AB[/tex] la cui proiezione ortogonale sul diametro è [tex]C[/tex].

La figura è in allegato.
Soluzione:
Testo nascosto:
Pongo [tex]AC=x; CB=y; AB=2r[/tex]. Congiungo [tex]H[/tex]con [tex]A,B[/tex] ottenendo un triangolo rettangolo. Essendo [tex]HC[/tex] altezza relativa all'ipotenusa, per il secondo teorema di euclide, si ottiene che [tex]x \cdot y =3[/tex]. Sapendo che [tex]x+y=2r[/tex] , posso considerare [tex]x,y[/tex] radici del polinomio [tex]z^2-2rz+3[/tex] . Allora per esprimere le due radici in funzione di [tex]r[/tex], calcolo il

[tex]\Delta= 4r^2-12 \rightarrow x= r- \sqrt {r^2-3}; y= r+ \sqrt {r^2-3}[/tex] con [tex]r^2>3[/tex] ( dalla figura si evince che [tex]x<y)[/tex].

Allora l'area richiesta la ottengo come differenza, ovvero: [tex]S= \dfrac {r^2 \cdot \pi}{2} - \left ( \dfrac {x}{2} \right ) ^2 \cdot \dfrac {\pi}{2} - \left ( \dfrac {y}{2} \right )^2 \cdot \dfrac {\pi}{2} = \dfrac {3 \pi}{4}[/tex].
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Re: Stile dimostrativo - Geometria

Messaggioda Gerald Lambeau » 26/02/2016, 21:55

Correggo il '93 1.



Allora, a parte $r^2 \ge 3$, piccola pignoleria, il resto è corretto dal punto di vista matematico.

Veniamo ora allo stile dimostrativo:
-prima affermazione non giustificata: $ABH$ è un triangolo rettangolo. Vero, ma nel mentre leggevo la tua soluzione mi sono soffermato quel mezzo secondo necessario a capire perché, e questo non va bene: una soluzione ben scritta non deve portare chi la legge a pensare perché una cosa è giusta ma deve pensarlo per lui dicendoglielo chiaramente. Dato che chi corregge non può avere la certezza di quello che non scrivi, potrebbe anche essere che tu qui abbia tirato a indovinare (ci stiamo immaginando un correttore sufficientemente severo); quindi magari fai sapere al correttore che le cose le sai dicendo che $\widehat{ABC}=90^\circ$ perché angolo alla circonferenza che insiste sul diametro $AB$, così sei sicuro che non ti può togliere alcun punto.
-seconda affermazione non giustificata: $\dfrac {r^2 \cdot \pi}{2} - \left ( \dfrac {x}{2} \right ) ^2 \cdot \dfrac {\pi}{2} - \left ( \dfrac {y}{2} \right )^2 \cdot \dfrac {\pi}{2} = \dfrac {3 \pi}{4}$. Qui non è bastato mezzo secondo, ho dovuto prendere carta e penna e verificare che i risultati tornassero. Mi si potrebbe obiettare che un correttore ha un foglio dove i conti sono già svolti che gli garantisce il risultato, ma se il poveretto si trovasse a correggere una traccia diversa da quella proposta con conti diversi la certezza del foglio delle risposte va a farsi benedire: dato che non hai mai la certezza che la tua soluzione sia la stessa che hanno i correttori, giustifica tutti i passaggi e svolgi tutti i conti, piuttosto che rischiare che debbano farlo loro (che poi ti prendono in antipatia).

Allora, per la prima affermazione non penso si possa togliere più di un punto, per la seconda se la traccia che proponi è uguale a quella ufficiale allora anche lì un punto massimo si toglie, se la traccia è diversa due punti li toglie il correttore severo, ma vediamo la scala dei punteggi (punteggio da 0 a 7):
correttore clemente, traccia uguale a quella ufficiale: 6;
correttore clemente, traccia diversa da quella ufficiale: 5;
correttore severo, traccia uguale a quella ufficiale: 5;
correttore severo, traccia diversa da quella ufficiale: 4.

Come si prendeva 7? Bastava spiegare la prima affermazione e svolgere tutti i conti in fondo passaggio per passaggio. Come si prendeva 7+ (che poi è 7 cit. [no sul serio, quel + è solo per bellezza, non ti serve])? Sebbene tutti abbiamo chiaro il perché algebrico della disuguaglianza $r^2 \ge 3$, spiegare il perché essa è valida anche dal punto di vista geometrico sarebbe un in più da leccac... ehm, molto carino (tra l'altro potrebbe farti da salvagente recupera punto se sbagli la prima affermazione [il livello è quello], ma questo può succedere solo se proponi una soluzione diversa da quella ufficiale e quindi da valutare senza riferimenti).



Ora sono io che chiedo giudizio a te: come ti sono sembrato come correttore? Troppo severo? È che cercare di essere pignoli nel correggere una soluzione fa capire cosa andrebbe scritto e così si è pronti quando tocca noi (per questo sono anche molto autocritico con me stesso), ma posso capire che ad altri potrebbe non far piacere un giudizio troppo severo, quindi voglio una tua opinione sincera per cercare di calibrarmi (con gli altri, con me stesso mai, sempre massima severità!).
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: Stile dimostrativo - Geometria

Messaggioda Rho33 » 27/02/2016, 13:26

Allora, innanzitutto grazie Gerald per la correzione e la disponibilità. Inoltre grazie per avermi fatto sapere che è necessario esplicitare tutti i conti e spiegare tutti i dettagli, se non fosse stato per te, io sarei ancora convinto che un conto senza passaggi, pur corretto, vada bene in gara! Per questo, credo che tu sia stato un ottimo correttore, per nulla severo. Trovo molto utili i vari tipi di punteggi a seconda della situazione, di cui mi ricorderò ogni volta debba scrivere una soluzione da gara. Per ultimo, invece, ti rivolgo un dubbio: io ho volutamente scritto una disuguaglianza stretta [tex]r^2>3[/tex] poichè in figura [tex]x<y[/tex] e quindi ho interpretato che il caso di uguaglianza non può essere mai raggiunto, altrimenti si otterrebbe [tex]x=y[/tex], sbaglio?
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Re: Stile dimostrativo - Geometria

Messaggioda Gerald Lambeau » 27/02/2016, 15:32

Il risultato torna anche se $x=y$ e il testo non specifica diversamente, quindi direi che va contemplato anche il risultato $x=y$.
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Re: Stile dimostrativo - Geometria

Messaggioda burt » 27/02/2016, 22:57

Come sono contento che questa " sezione " la state usando ! Per un po non L ha usata nessuno e ho pensato che era stato completamente inutile
" l ingegno e la furbizia risiedono nell imparare dall esperienza" cit. Roberto colli " la creatività non è altro che l inteligenza che si diverte " albert einstain
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Re: Stile dimostrativo - Geometria

Messaggioda Rho33 » 28/02/2016, 14:56

No, altrochè, è utilissima!

Cesenatico 1997 1
Una striscia di carta con bordi paralleli distanti $3cm$ viene piegata in modo che una parte di essa risulti parzialmente sovrapposta alla parte rimanente(figura in allegato). Qual'è l'area minima della zona ombreggiata?

Soluzione:
Testo nascosto:
Siano $A$ il vertice in basso del triangolo in figura, ed in senso orario, $B,C$ gli altri due. Siano $A',B',C'$ i piedi delle altezze condotte dai vertici ai lati opposti, rispettivamente. Allora $AA'=CC'=3$ perchè la larghezza è costante. Allora $\triangle ABC$ è isoscele su base $AC$ ( poichè ha due altezze congruenti). La sua area sarà $S= \dfrac {1}{2} \cdot AB \cdot CC' = \dfrac {3}{2} \cdot AB$ . Essa è minima quando $AB$ è minimo, da cui $AB$ deve coincidere con $AA'$, distanza tra i bordi. Quindi $S=\dfrac{9}{2} $.
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Re: Stile dimostrativo - Geometria

Messaggioda Rho33 » 28/02/2016, 15:35

Cesenatico 1999 1
Dato un foglio rettangolare di lati $a,b$ con $a>b$ , determinare l'area del triangolo che risulta dalla sovrapposizione dei due lembi che si ottengono piegando il foglio lungo una diagonale (la figura in allegato , il triangolo ombreggiato).

Soluzione:

Testo nascosto:
Sia $A$ il vertice in basso a sinistra del rettangolo, ed in senso antiorario $B,C,D$ gli altri tre vertici.

Chiaramente $AB=CD=a,BC=DA=b$ Sia inoltre $E=AB \cap CD$ nella piegatura. Allora $AC= \sqrt {a^2+b^2} , AE=CE $ (per simmetria) . Sia $\alpha = \angle EAC= \angle ECA $ , mentre $\angle AEC= \pi - 2 \alpha$ .

Essendo $\triangle ABC , \triangle ADC$ rettangoli, posso scrivere $\cos \alpha = \dfrac {a}{\sqrt {a^2+b^2}}, \sin \alpha = \dfrac {b}{\sqrt {a^2+b^2}} $ , inoltre applicando il teorema di Carnot al triangolo $\triangle AEC$ si ottiene: $AE^2=EC^2+AB^2-2EC \cdot AB \cos \alpha \iff EC= \dfrac {a^2+b^2}{2a}$.

Ricordando che $ \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = \dfrac {2ab}{a^2+b^2}$ , l'area del triangolo $\triangle AEC= \dfrac {1}{2} \cdot AE \cdot EC \cdot \sin \angle AEC= \dfrac {1}{2} \cdot AE \cdot EC \cdot \sin 2 \alpha= \dfrac {1}{2} \cdot { \dfrac {(a^2+b^2)^2}{4a^2}} \cdot \dfrac {2ab}{a^2+b^2}= \dfrac {(a^2+b^2) \cdot b}{4a}$
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Re: Stile dimostrativo - Geometria

Messaggioda Rho33 » 01/03/2016, 0:19

Cesenatico 2001 1

Un esagono equiangolo ha quattro lati consecutivi lunghi rispettivamente $5,3,6,7$ . Determinare le lunghezze degli altri due lati.

Soluzione:

Testo nascosto:
Siano $A,B,C,D,E,F$ i sei vertici, in particolare $AB=5,BC=3,CD=6,DE=7$ . Essendo un esagono equiangolo, tutti gli angoli interni avranno la misura di $\dfrac {(6-2) \cdot 180°}{6} = 120°$ . Allora tutti gli angoli esterni saranno di $60°$ . Bello, prolunghiamo $AB$ sia dalla parte di $A$ che di $B$ , così come $CD,EF$ e siano $A'=AB \cap EF,B'=AB \cap CD,C'=CD \cap EF $ . Per l'osservazione precedente, $\triangle A'B'C'$ è equilatero ( ha tutti gli angoli di $60°$ . Quindi $A'A=AF=A'F,BB'=BC=B'C,ED=DC'=C'E$ . Pongo per comodità $AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,EF=e,FA=f$ , posso impostare le seguenti equazioni :

$f+a+b=b+c+d=d+e+f \iff e=1,f=8$ .
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