Stile dimostrativo - Combinatoria e Probabilità

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Re: Stile dimostrativo - Combinatoria e Probabilità

Messaggioda Gerald Lambeau » 25/03/2016, 14:22

Ok, ora è più chiaro (e mi sa lo era anche la prima versione, solo che io ero troppo scemo e ho invertito chi vince con chi perde :oops: ): 7 punti, dettagliata al punto giusto!
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: Stile dimostrativo - Combinatoria e Probabilità

Messaggioda Rho33 » 14/04/2016, 21:18

Cesenatico 1986 3: Due numeri vengono estratti a caso nell'intervallo $I=[0,1]$ , dato $a$ in questo intervallo, determinare la probabilità che il minore dei due estratti sia minore o uguale ad $a$.
Testo nascosto:
Come tutti i problemi simili, si risolve con la complementare. Calcolo la probabilità che siano entrambi maggiori di $a$ , cioè quella complementare: $\bar p= (1-a)^2 $ ( l'intervallo dove pescarli è $[a,1]$ che è "lungo" $(1-a)$ ) . L'evento complementare è "almeno uno è minore o uguale ad $a$ " : $p=1- \bar p= 1- (1-a)^2=2a-a^2$
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Re: Stile dimostrativo - Combinatoria e Probabilità

Messaggioda Rho33 » 15/04/2016, 21:06

Cesenatico 2013 3

Ogni intero è colorato di rosso o di blu. Per ogni insieme finito $A$ di interi consecutivi, il valore assoluto della differenza tra il numero di interi rossi e blu nell'insieme $A$ è $\leq 1000$ .Dimostrare che esiste un insieme di $2000$ interi consecutivi con esattamente $1000$ rossi e $1000$ blu.

Testo nascosto:
Chiamo $R_k , B_k$ il numero di interi rossi e blu rispettivamente, nell'insieme generico $A_k= \{k,k+1,...,k+1999 \}$ e sia $\Delta_k=R_k-B_k$.

Chiaramente, essendo $2000$ un pari, $R_k , B_k $ hanno la stessa parità, da cui $\Delta_k$ è pari.

Consideriamo ora $A_{k+1}= \{k+1,k+2,...,k+2000 \}$ , è ovvio che $\Delta_{k+1}$ dipende unicamente dal colore degli elementi $k,k+2000$ , quindi posso scrivere che $| \Delta_k- \Delta_{k+1} | \leq 2 $ e sono tutti pari.

Suppongo per assurdo che $\Delta_k \not =0 \ \ \forall k \in \mathbb {Z}$ e WLOG $\Delta_1 >0$ .

Dimostriamo per induzione che $\Delta_k>0:$

Base: $\Delta_1>0$

Passo induttivo: $\Delta_{k+1} \geq \Delta_k -2 >0$ , se fosse $0$ contraddirei l'ipotesi precedente (giusto?).

Ora consideriamo i $501$ insiemi disgiunti $A_1, A_{2001},A_{4001},...,A_{10000001}$ , ed i rispettivi $\Delta$ , allora per quanto detto fino ad ora, la somma dei $\Delta$ è strettamente positiva e $>1001$ , quindi l'insieme $B=A_1 \cup A_{2001} \cup ... \cup A_{10000001} $ ha $\Delta \geq 1001$ , assurdo per l'ipotesi iniziale.
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Re: Stile dimostrativo - Combinatoria e Probabilità

Messaggioda Rho33 » 27/04/2016, 17:40

Simulazione 2015 3:

Ci sono $3$ scuole ed ognuna con $n$ studenti. Ogni studente ha esattamente $n+1$ amici complessivamente nelle altre due scuole. Dimostrare che si possono scegliere tre studenti, uno per scuola,in modo che si conoscano tutti.

Testo nascosto:
Bene, chiaramente il principio dell'estremale è chiamassimo, quindi lo usiamo. In questo caso un massimo va bene (a meno che la soluzione non sia errata :lol: )

Scelgo lo studente (WLOG $ a \in A$) con il numero massimo $k$ di amici in una stessa scuola (WLOG $B$), allora, per ipotesi, egli ne avrà $n+1-k$ nella scuola $C$ . Scegliamo ora $c$ ,uno qualunque dei suoi amici nella scuola $C$ , e supponiamo che $c$ non abbia alcun amico in comune con $a$ nella suola $B$ (altrimenti ho ottenuto la terna). Allora $c$ avrà al massimo $n-k$ amici in $B$ ed almeno $n+1-(n-k)=k+1$ amici nella scuola $A$ , assurdo per come si è scelto $a$.
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