Stile dimostrativo - Algebra

Proprietà dei numeri razionali, reali e complessi. Studio di polinomi, successioni, disuguaglianze e funzioni.

Stile dimostrativo - Algebra

Messaggioda afullo » 30/09/2015, 18:42

In questo topic trattiamo tutte le tematiche relative agli aspetti formali delle dimostrazioni, ovvero come scriverle bene, renderle chiare, e apprezzabili da lettori o da correttori, una volta che la parte sostanziale dell'esercizio è stata risolta.
afullo
 
Messaggi: 1247
Iscritto il: 13/03/2013, 22:06

Re: Stile dimostrativo - Algebra

Messaggioda Rho33 » 07/03/2016, 17:36

Cesenatico 2009 1

Siano $a < b < c < d < e $ numeri reali. Si calcolano tutte le possibili somme a due a due di questi $5$ numeri. Di queste $10$ somme, le tre più piccole sono $32, 36, 37$ , mentre le due più grandi sono $48$ e $51$. Si determinino tutti i possibili valori che può assumere $e$.

Soluzione:

Testo nascosto:
Chiaramente $a+b= 32 \ \ (1)$ , $a+c=36\ \ (2)$ , $c+e=51\ \ (3)$ e $d+e=48\ \ (4)$ . Distinguiamo in casi:

$\bullet \ \ b+c=37\ \ (5) $ Risolviamo il sistema di tre equazioni in tre incognite formato da $(1),(2),(5)$ trovando $a= \dfrac {31}{2} , b= \dfrac {33}{2}, c= \dfrac {41}{2} $ e sostituendo in $(3)$ si ottiene $e= \dfrac {55}{2}$ .

$\bullet \ \ a+d= 37 \ \ (6)$ Combinando $(2),(6)$ si ottiene che $d=c+1$ e sostituendo in $(4)$ si ottiene che $e=50-c$ ma mettendo a sistema quest'ultima equazione e la $(3)$ si ottiene che il sistema è impossibile quindi in questo caso non vi sono soluzioni.
Rho33
 
Messaggi: 489
Iscritto il: 16/09/2014, 11:14

Re: Stile dimostrativo - Algebra

Messaggioda Rho33 » 23/03/2016, 22:20

Simulazione 2013 2:

Trovare tutti i polinomi $p(x)$ che soddisfano la relazione:

$(x-16)p(2x)=16(x-1)p(x)$

Soluzione:

Testo nascosto:
Allora, sia $p(x)= a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0$ il nostro polinomio generico. I due membri devono rappresentare la stessa quantità quindi eguagliamo i rispettivi coefficienti di testa, ottenendo che :

$2^na_n=16a_n \iff n=4$ quindi il grado di $p(x)$ è $4$. Ora, agilmente troviamo le sue quattro radici:

$\bullet x=16 \rightarrow p(16)=0$
$\bullet x=1 \rightarrow p(2)=0$
$\bullet x=2 \rightarrow p(4)=0$
$\bullet x=4 \rightarrow p(8)=0$

Allora $p(x)=\alpha (x-2)(x-4)(x-8)(x-16) $ e sostituendo si ottiene:

$\alpha (x-16) (2x-2)(2x-4)(2x-8)(2x-16)= \alpha 16(x-1) (x-2)(x-4)(x-8)(x-16) $ che chiaramente soddisfa per qualsiasi $\alpha$ , compreso anche $p(x) \equiv 0$ .
Rho33
 
Messaggi: 489
Iscritto il: 16/09/2014, 11:14

Re: Stile dimostrativo - Algebra

Messaggioda Gerald Lambeau » 23/03/2016, 23:36

Rho33 ha scritto:I due membri devono rappresentare la stessa quantità quindi eguagliamo i rispettivi coefficienti di testa

Perché? C'è un motivo ben preciso che ci spiega come mai la frase "i due membri devono rappresentare la stessa quantità" ci porta ad avere il diritto di eguagliare i coefficienti di testa.
Rho33 ha scritto:agilmente troviamo le sue quattro radici

Ai correttori non piacciono i ninja, mostra i tuoi calcoli.

Il resto è ok. Per la prima cosa che ti ho segnalato non penso si rischino punti, per la seconda un punto lo perdi! Magari potevi dare per scontate le prime due radici, ma devi ammettere che 4 e 8 sembrano apparse per magia, e questo non va affatto bene. Dando un giudizio medio darei 6 e mezzo, ma dato che non si può io personalmente direi 6, un correttore particolarmente buono potrebbe anche dare 7, questo dipende principalmente dalle preferenze del correttore.
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
Cit. Marco (mio vero nome)
Gerald Lambeau
 
Messaggi: 920
Iscritto il: 07/01/2015, 18:18

Re: Stile dimostrativo - Algebra

Messaggioda Rho33 » 24/03/2016, 12:02

Ok, per la prima obiezione è vero, non ho esplicitato ma credo che la risposta sia: entrambi i membri rappresentano polinomi dello stesso grado poichè $deg\ \ p(2x)= \ \ deg\ \ p(x)$ , infatti $p(2x)=2^na_nx^n+...$ e $p(x)=a_nx^n+...$


Per la seconda, hai ragione mi sono dimenticato di scrivere i preziosissimi conti, rimedio subito:

$\bullet x=16 \rightarrow $ $0 \cdot p(0)= -16 \cdot p(16) \rightarrow \ \ p(16)=0$
$\bullet x=1 \rightarrow $ $-15 \cdot p(2)= 0 \cdot p(1) \rightarrow \ \ p(2)=0$
$\bullet x=2 \rightarrow $ $-14 \cdot p(4)= 16 \cdot p(2) \rightarrow \ \ p(4)=0$
$\bullet x=4 \rightarrow $ $-12 \cdot p(8)= 48 \cdot p(4) \rightarrow \ \ p(8)=0$

Finito perchè ha al più $4$ radici.
Rho33
 
Messaggi: 489
Iscritto il: 16/09/2014, 11:14

Re: Stile dimostrativo - Algebra

Messaggioda carlotheboss » 24/03/2016, 12:06

Si riusciva comunque a fare anche senza eguagliare i coefficienti di testa: infatti si trovava che $p(x) = (x - 2)(x - 4)(x - 8)(x - 16) \cdot q(x)$ e reinserendo nell'uguaglianza iniziale e raccogliendo e semplificando $cose$ si otteneva $q(x) = q(2x)$ e da qui si dimostrava che $q(x) = cost.$ (io l'ho fatto sviluppando il polinomio e facendo vedere che si arriva a un'eguaglianza impossibile, ci sono modi più veloci per dimostrarlo, nonostante si veda subito? )
Ultima modifica di carlotheboss il 24/03/2016, 12:20, modificato 1 volta in totale.
carlotheboss
 
Messaggi: 65
Iscritto il: 17/02/2016, 16:12

Re: Stile dimostrativo - Algebra

Messaggioda lucaboss98 » 24/03/2016, 12:11

carlotheboss ha scritto: (io l'ho fatto sviluppando il polinomio e facendo vedere che si arriva a un eguaglianza impossibile, ci sono modi più veloci per dimostrarlo, nonostante si veda subito? )

Si, si ha $p(1)=p(2)= \ldots = p(2^n)$ da cui $p$ assume lo stesso valore in infiniti punti e quindi è costante.
lucaboss98
 
Messaggi: 980
Iscritto il: 27/11/2013, 20:03

Re: Stile dimostrativo - Algebra

Messaggioda carlotheboss » 24/03/2016, 12:21

lucaboss98 ha scritto:
carlotheboss ha scritto: (io l'ho fatto sviluppando il polinomio e facendo vedere che si arriva a un eguaglianza impossibile, ci sono modi più veloci per dimostrarlo, nonostante si veda subito? )

Si, si ha $p(1)=p(2)= \ldots = p(2^n)$ da cui $p$ assume lo stesso valore in infiniti punti e quindi è costante.


Vero anche questo, non ci avevo pensato .-. grazie :)
carlotheboss
 
Messaggi: 65
Iscritto il: 17/02/2016, 16:12


Torna a Algebra

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite