Olimpiadi della Matematica Torino - OliMaTO - Forum

[Nadal01]

In un'urna ci sono [tex]100[/tex] palline alcune bianche, le altre nere. Si sa che:

il numero di palline bianche é maggiore o uguale di quelle nere;

se si estraggono contemporaneamente due palline dal'urna, la probabilità che siano entrambe dsello stesso colore è uguale a quella che siano di colore diverso.

Determinare il numero delle palline bianche;

se si sostiutisce a [tex]100[/tex] un intero [tex]N[/tex], discutere il problema precedente al variare di [tex]N[/tex]

.

[ronny]

Con 100 palline:

Testo nascosto:

Sia b il numero di palline bianche:
la probabilità di estrarre due bianche è: [tex]\displaystyle \frac{b(b-1)}{100*99}[/tex]

la probabilità di estrarre due nere è: [tex]\displaystyle \frac{(100-b)(99-b)}{100*99}[/tex]

la probabilità di estrarre due bianca e nera (o nera e bianca) è: [tex]\displaystyle \frac{2 b(100-b)}{100*99}[/tex]

uguagliandole (elimino i denominatori):

[tex]b(b-1) + (100-b)(99-b) = 2 b(100-b)[/tex]

risolvendo si ottiene [tex]b=55[/tex] (e [tex]b=45[/tex] che non è accettabile in quanto le bianche devon essrere maggiori delle nere)

Nella prossima risposta il caso generico.

[ronny]

Con N palline:

Testo nascosto:

Sia b il numero di palline bianche:
la probabilità di estrarre due bianche è: [tex]\displaystyle \frac{b(b-1)}{N*(N-1)}[/tex]

la probabilità di estrarre due nere è: [tex]\displaystyle \frac{(N-b)(N-1-b)}{N*(N-1)}[/tex]

la probabilità di estrarre due bianca e nera (o nera e bianca) è: [tex]\displaystyle \frac{2 b(N-b)}{N*(N-1)}[/tex]

uguagliandole (elimino i denominatori):

[tex]b(b-1) + (N-b)(N-1-b) = 2 b(N-b)[/tex]

[tex]2b^{2}-2Nb+\frac{N(N-1)}{2} = 0[/tex]

risolvendo l'equazione di secondo grado si ottiene:

[tex]\displaystyle b = \frac{N + \sqrt{N}}{2}[/tex]

si scarta la soluzione con il meno al posto del pù in quanto è quella dove le palline bianche sono minori delle nere

per avere soluzione intera è necessario che N sia un quadrato

[afullo]

Aggiungo il tag di classificazione per difficoltà.

[ronny]

Quali sono i livelli di difficoltà?

Li ho trovati:

[L01] = Livello Archimede
[L02] = Livello Febbraio Facile
[L03] = Livello Febbraio Difficile / Cesenatico Facile / TF Senior
[L04] = Vecchie Gare Internazionali (quelle facili) / TI Senior
[L05] = Cesenatico Difficile
[L06] = Gare Internazionali Medio-Difficili
[L07] = IMO Recenti / RMM / Altre Gare Internazionali Difficili / preIMO / WC

cancellate pure il messaggio

[afullo]

Ottimo, lo lascio così fa da ripasso per tutt*

[ronny]

Già che se ne parla chiedo qualche chiarimento:

Non conosco i Senior ma mi sembra di aver sentito di un test finale ed iniziale.
Immagino che TF Senior stia per test finale e TI Senior per test iniziale.
Il test iniziale serve per essere ammessi?
E quello finale cosa comporta?

Cosa sono RMM, preIMO, WC?

[afullo]

TF e TI stanno per quello che dici; c'è un test di ammissione ma solo da quest'anno (prima la procedura di selezione era diversa), il TI serve per organizzare il lavoro in base al livello d'entrata di ognuno, il TF dà punteggio per il ranking col quale si decidono le convocazioni per le gare internazionali.

RMM sono i Romanian Master of Mathematics, una gara internazionale; il preIMO è uno stage a maggio dopo Cesenatico con cui si prendono le decisioni definitive in termini di convocati alle IMO; il WC è il Winter Camp, uno stage invernale di metà stagione.