Sono primi?

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

Sono primi?

Messaggioda Drago » 11/04/2013, 20:38

  • Determinare i valori di $n\in\mathbb N$ tali che $n^4+4^n$ sia un primo
  • Determinare i valori di $n\in\mathbb N$ tali che $n^4+4$ sia un primo
  • Determinare i valori di $a,b\in\mathbb Z$ tali che $a^4+4b^4+12ab-9$ sia un primo
Avatar utente
Drago
 
Messaggi: 1056
Iscritto il: 14/03/2013, 15:51

Re: Sono primi?

Messaggioda Lasker » 11/04/2013, 21:25

Faccio il secondo punto, che mi sembra il più facile :D (domani, forse, tenterò con gli altri)
Scrivo :
[tex]n^4+4=p[/tex]
[tex]n^4+4+4n^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2)^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2n+2)(n^2-2n+2)=p[/tex]

[tex]n^2-2n+2= 1[/tex]
[tex]n^2+2n+2= p[/tex]

n={1}
p={5}
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 834
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Sono primi?

Messaggioda Livex » 11/04/2013, 21:31

per il secondo punto..
per determinare tali valori,conviene trovare i vari valori n tale che il risultante non è primo
banale considerazione è che n deve essere dispari infatti se fosse pari anche il risultato è pari e quindi non è primo perche il risultato sostituendo 0 si ottiene il minimo(che è 4)di conseguenza n è dispari
a questo punto conviene considerare i residui quadrati modulo 5,essi dicono che [tex]n^{2}\equiv 1,-1,0\pmod{5}[/tex]ma [tex]n^{4}[/tex] è il quadrato di [tex]n^{2}[/tex]e quindi [tex]n^{4}[/tex] puo essere solamente [tex]0,1[/tex] modulo 5,ma attenzione se fosse 1 significa che il risultato è divisibile per 5
e in questo caso vale solo n=1 perche cosi verrebbe 5,che è l'unico primo divisibile per 5
ora per dimostrare che non puo essere congruo a 0 mod 5 si fa cosi...
[tex]n^{4}+4\equiv 0\pmod{5}[/tex] poi [tex]n^{4}-1\equiv 0\pmod{5}[/tex] infine [tex]n^{4}\equiv 1\pmod{5}[/tex]
quindi come detto in precedenza n=1
Livex
 
Messaggi: 994
Iscritto il: 15/03/2013, 15:33

Re: Sono primi?

Messaggioda Livex » 11/04/2013, 21:47

per il primo punto..
n è dispari come detto prima,ed [tex]n^{4}[/tex] puo essere congruo solo [tex]0,1[/tex] modulo 5
[tex]n^{4}+4^{n}\equiv 0\pmod{5}[/tex] si puo sostituire con [tex]n^{4}+(-1)^{n}\equiv 0\pmod{5}[/tex]ma n è dispari,possiamo quindi riscrivere come [tex]n^{4}-1\equiv 0\pmod{5}[/tex] poi avevamo detto sopra che [tex]n^{4}[/tex] era congruo ad 1 mod 5,e si ricava la stessa cosa di prima,cioè che n=1 perche in tutti gli altri casi non è primo in quanto è divisibile per 5

EDIT:mi sono accorto ora di un bruttissimo errore, per entrambe le dimostrazioni devo dimostrare che [tex]n^{4}[/tex]non puo essere congruo a 0
Livex
 
Messaggi: 994
Iscritto il: 15/03/2013, 15:33

Re: Sono primi?

Messaggioda afullo » 11/04/2013, 23:14

Lasker ha scritto:Faccio il secondo punto, che mi sembra il più facile :D (domani, forse, tenterò con gli altri)
Scrivo :
[tex]n^4+4=p[/tex]
[tex]n^4+4+4n^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2)^2-4n^2=p[/tex]
[tex](n^2+2n+2)(n^2-2n+2)=p[/tex]

[tex]n^2-2n+2= 1[/tex]
[tex]n^2+2n+2= p[/tex]

n={1}
p={5}

Sophie Germain. :mrgreen:
afullo
 
Messaggi: 1749
Iscritto il: 13/03/2013, 22:06

Re: Sono primi?

Messaggioda Drago » 12/04/2013, 16:53

Bene Lasker :)
E afu ha spoilerato l'argomento portante del topic... (più o meno) :|
Avatar utente
Drago
 
Messaggi: 1056
Iscritto il: 14/03/2013, 15:51

Re: Sono primi?

Messaggioda Livex » 12/04/2013, 17:49

Drago ha scritto:E afu ha spoilerato l'argomento portante del topic... (più o meno) :|

mi pare quindi di capire che con le congruenze non si puo fare?o se si puo fare è parecchio difficile(o quantomeno per me)?
Livex
 
Messaggi: 994
Iscritto il: 15/03/2013, 15:33

Re: Sono primi?

Messaggioda Lasker » 15/04/2013, 22:31

Illuminazione sul terzo! :D
Aggiungo e tolgo [tex]4a^2b^2[/tex]
L'equazione diventa:
[tex]a^4+4a^2b^2+4b^4-4a^2b^2+12ab-9=p[/tex]
[tex](a^2+2b^2)^2-(2ab-3)^2=p[/tex]
[tex](a^2+2ab-3+2b^2)(a^2-2ab+3+2b^2)=p[/tex]

[tex](a^2+2ab-3+2b^2)=1[/tex]
[tex]a^2+2ab+2b^2-4=0[/tex]
[tex](a+b)^2+b^2=4[/tex]
Visto che non esistono terne pitagoriche con ipotenusa 2, ne deduco che qui ci sono solo le soluzioni banali
a=2 b=0
a=-2 b=2
a=2 b=-2
In cui uno dei due termini al quadrato è uguale a 0

vediamo se portano numeri primi se sostituite nell'altra...
(4+3)=7 si
(4+8+3+4)=19 si
l'ultima è simmetrica a questa

Ora proviamo con
[tex](a^2-2ab+3+2b^2)=1[/tex]
otteniamo un ragionamento analogo con
[tex](a-b)^2+b^2=-2[/tex]
Ovviamente impossibile in quanto il membro di sinistra è sempre positivo, mentre quello di destra negativo!
Dunque le uniche soluzioni dovrebbero essere
a=2 b=0 p=7
a=-2 b=2 p=19
a=2 b=-2 p=19

Funziona? :roll:
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 834
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00

Re: Sono primi?

Messaggioda Lasker » 16/04/2013, 18:01

Credo che al posto del 19 ci vada un 23, sono proprio sbadato :mrgreen:
Scusate, ma perché riesco a modificare i messaggi solo per breve tempo?Questa cosa mi farà impazzire :evil:
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

#FREELEPORI
Lasker
 
Messaggi: 834
Iscritto il: 17/03/2013, 16:00


Torna a Teoria dei Numeri

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 0 ospiti