Somma di insiemi

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Somma di insiemi

Messaggioda lucaboss98 » 06/01/2016, 21:10

Dati due insiemi $\mathbb{X}$ e $\mathbb{Y}$ ed un operazione $•$ definiamo $$\mathbb{X}•\mathbb{Y} = \{ x•y : (x,y) \in \mathbb{X} \times \mathbb{Y}\}$$
Esiste una partizione di $\mathbb{Q}$ in tre insiemi disgiunti e non vuoti $\mathbb{A},\mathbb{B},\mathbb{C}$ tali che $\mathbb{A}+\mathbb{B},\mathbb{A}+\mathbb{C},\mathbb{B}+\mathbb{C}$ sono a loro volta disgiunti?
Ultima modifica di lucaboss98 il 08/01/2016, 18:30, modificato 1 volta in totale.
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Re: 106. Somma di insiemi

Messaggioda Saro00 » 08/01/2016, 14:51

Non ho capito perché introduci quell'operazione.
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
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Re: 106. Somma di insiemi

Messaggioda bern1-16-4-13 » 08/01/2016, 14:53

Quel punto nero è un più in realtà...
mentre il mondo persiste nei suoi sanguinosi conflitti, la vera guerra è combattuta dai matematici
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Re: 106. Somma di insiemi

Messaggioda Saro00 » 08/01/2016, 14:55

Ok, grazie
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
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Re: 106. Somma di insiemi

Messaggioda lucaboss98 » 08/01/2016, 16:17

Saro00 ha scritto:Non ho capito perché introduci quell'operazione.

Per complicare il testo
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Re: 106. Somma di insiemi

Messaggioda Saro00 » 08/01/2016, 18:26

Non per fare lo scassa ca22o, ma questo http://forum.olimato.org/wc-2013-t1827.html :D :lol:
Un giorno di questi mi metteranno in prigione per aver stuprato troppi problemi.
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Re: 106. Somma di insiemi

Messaggioda lucaboss98 » 08/01/2016, 18:29

Ed ho pure messo io la soluzione.. Vabbè cambio!
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Re: Somma di insiemi

Messaggioda bern1-16-4-13 » 09/01/2016, 17:47

Va be', tanto per non buttar via questo argomento:

esiste una partizione dell'insieme $$\mathbb{Q}_1=\left\{\frac{a}{b}:\ \ a,b\in\mathbb{Z};\ \ \textbf{gcd}\left(a,b\right)=1;\ \ b\not\equiv 0\pmod{3}\right\}$$ in tre insiemi disgiunti $\mathbb{A},\ \mathbb{B},\ \mathbb{C}$ tali che $\ \mathbb{A+B},\ \mathbb{B+C},\ \mathbb{C+A}$ sono a loro volta tre insiemi disgiunti?
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Re: Somma di insiemi

Messaggioda Delfad0r » 09/01/2016, 23:10

Testo nascosto:
Sì.


Testo nascosto:
Partizioniamo $\mathbb{Q}_1$ in $\mathbb{A}_0,\mathbb{A}_1,\mathbb{A}_2$ tali che
$$
\mathbb{A}_i=\left\{\frac{a}{b}:a,b\in\mathbb{Z},b\not\equiv0\pmod{3},ab\equiv i\pmod{3}\right\}\quad\text{per $i=0,1,2$}
$$
Notiamo che, finchè il denominatore di una frazione non è divisibile per $3$, non importa se la frazione stessa è ridotta ai minimi termini:
$$
(ka)(kb)\equiv k^2ab\equiv ab
$$

Notiamo che, se $\frac{p}{q}\in\mathbb{A}_i,\frac{r}{s}\in\mathbb{A}_j$, allora
$$
\frac{p}{q}+\frac{r}{s}=\frac{ps+qr}{qs}
$$
Il denominatore $qs$ non è ovviamente divisibile per $3$, e inoltre
$$
(ps+qr)(qs)\equiv s^2pq+q^2rs\equiv pq+rs\equiv i+j
$$
Quindi $\mathbb{A}_0+\mathbb{A}_1=\mathbb{A}_1,\mathbb{A}_1+\mathbb{A}_2=\mathbb{A}_0,\mathbb{A}_2+\mathbb{A}_0=\mathbb{A}_2$.


O per fare i fighi
Testo nascosto:
La partizione di cui sopra funziona ancora più evidentemente se la definiamo così: dato $q\in\mathbb{Q}_1$, mettiamo $q$ nel $\mathbb{A}_i$ tale che l'ultima (prima ?) cifra della rappresentazione $3$-adica di $q$ è $i$; a questo punto, siccome l'addizione di numeri $p$-adici si comporta bene, l'ultima (prima ?) cifra di $x+y$ è la somma delle ultime (prime ?) cifre di $x$ e di $y$ $\pmod{3}$, quindi i tre insiemi-somma sono disgiunti.
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Re: Somma di insiemi

Messaggioda bern1-16-4-13 » 10/01/2016, 0:09

Perfetto, era quello a cui volevo arrivare... C'è solo da specificare che poco conta se la frazione $$\frac{ps+qr}{qs}$$ è riducibile, poiché divideremmo denominatore e numeratore per uno stesso numero $k\not\equiv 0\pmod{3}$ quindi il prodotto numeratore per denominatore verrebbe diviso per $k^2$ che d'altronde è congruo a $1$ modulo tre, quindi il prodotto rimarrebbe invariato modulo $3...$

Altrimenti si può considerare, invece della classe di resto del prodotto numeratore-denominatore, la classe di resto modulo $3$ della frazione stessa, o meglio $$\mathbb{A}_i=\left\{\frac{a}{b}:\ \ b\not\equiv 0\pmod{3};\ \ a\equiv bi\pmod{3}\right\}.$$

Per la soluzione figa mi fido :lol:
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