Somma di frazioni

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Somma di frazioni

Messaggioda Gizeta » 01/12/2013, 14:44

Due problemi che ho trovato abbastanza interessanti.

Trovare una formula per:

1) [tex]\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+...+ \frac{1}{n \cdot (n+1)}[/tex]

2) [tex]\frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+...+\frac{1}{n \cdot (n+1) \cdot (n+2)}[/tex]
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Re: Somma di frazioni

Messaggioda AGallese » 01/12/2013, 16:43

Testo nascosto:
1) [tex]\frac{1}{1\cdot2}+ ... + \frac{1}{(n(n+1)} = \frac{n}{n+1}[/tex]
Per induzione:
vero per [tex]n=1[/tex]; [tex]\frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}[/tex]


=)
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Re: Somma di frazioni

Messaggioda Gizeta » 01/12/2013, 17:17

Il risultato caduto dal cielo e poi dimostrato per induzione non funziona più di tanto per il secondo.
Vedi un po' questo

Testo nascosto:
[tex]\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}[/tex]


Cosa succede scrivendo tutti i termini in quel modo? Quella scrittura è caduta dal cielo o può essere ricavata mediante qualche metodo non particolarmente complicato?

Hint (da guardare solo dopo averci pensato un po' su)
Testo nascosto:
[tex]\frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}[/tex], risolvi rispetto [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex]. Puoi applicare questo metodo al problema 2?
:D
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Re: Somma di frazioni

Messaggioda Lasker » 01/12/2013, 17:54

EDIT: quando ho inviato, avevi già hintato (ci ho messo un sacco a fare i conti, lo so...) :mrgreen:

Questo è il più semplice esempio di serie telescopica (un trucchetto che sarebbe da tenere a mente, è anche comparso ai giochi di Archimede di quest'anno...) ;)

$1)$ Osservo che il generico termine della sommatoria si può scrivere come:
$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$
Sostituendo questa seconda scrittura a tutti i termini della serie di partenza si ottiene:
$$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-...-\frac{1}{n}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$$

$2)$ Qui i giochi si fanno più complicati, ma non demordiamo! Ci piacerebbe riutilizzare lo stesso metodo, ma con che frazioni? Provo a scomporre un generico termine...
$$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}+\frac{C}{k+2}$$
Dove $A,B,C$ sono costanti. Ricaviamole sfruttando il principio di identità dei polinomi:
$$1=A(k+1)(k+2)+Bk(k+2)+Ck(k+1)=(A+B+C)k^2+(3A+2B+C)k+(2A)$$
Visto che il polinomio più a sinistra è identicamente uguale ad $1$, devono valere le seguenti condizioni:
\begin{cases} A+B+C=0 \\ 3A+2B+C=0 \\ 2A=1 \end{cases}
Questo è un sistema lineare di tre equazioni e tre incognite, che possiamo quindi risolvere senza difficoltà, trovando $A=\frac{1}{2},B=-1,C=\frac{1}{2}$.
Per vedere meglio come si semplificano i termini, li scrivo in colonna per $3$, osservando che ogni piccola diagonale si semplifica (scusate, non riesco a disegnarla in modo soddisfacente, al limite fatela voi...), e dunque alla fine delle operazioni rimarranno solamente:
$$\frac{1}{4}+\frac{-1}{n+1}+\frac{1}{2n+4}+\frac{1}{2n+2}$$
Se non ho sbagliato conti (cosa probabilissima) :mrgreen:
Cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due? Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani.

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Re: Somma di frazioni

Messaggioda Gizeta » 01/12/2013, 18:25

Umh, si, mi pare tutto giusto.
Nel secondo ho trovato più agevole la scrittura mediante le sommatorie: usando la scomposizione in "frazioni parziali" possiamo scrivere

[tex]\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i}}-\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i+1}}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n{\frac{1}{i+2}}[/tex]

Adesso consideriamo il primo ed il terzo addendo, riarrangiamo un po' gli indici per ottenere qualcosa di migliore:

[tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2(n+2)}+\frac{1}{2}\sum_{i=3}^n{\frac{1}{i}}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n-2}{\frac{1}{i+2}}[/tex]

Notiamo che le due sommatorie come sono scritte ora sono sostanzialmente identiche nel risultato, quindi

[tex]\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{2(n+2)}+\sum_{i=3}^n{\frac{1}{i}}[/tex]

La sommatoria rimasta parte da [tex]-\frac{1}{2}[/tex] e arriva a [tex]-\frac{1}{n+1}[/tex], dunque non considerando questi primo ed ultimo termine annulla l'altra sommatoria, e giungiamo al risultato di:

[tex]\frac{1}{4}+\frac{1}{2(n+2)}-\frac{1}{2(n+1)}=\frac{n^2+3n}{4(n+1)(n+2)}[/tex].

p.s. Per chiunque fosse interessato al metodo utilizzato da Lasker per trovare le frazioni: Partial fraction :D
Inoltre ho scoperto, curiosando su Wikipedia, che la somma del primo problema è anche chiamata Serie di Mengoli per [tex]n[/tex] tendente all'infinito.
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Re: Somma di frazioni

Messaggioda Lasker » 01/12/2013, 19:31

Ero preparato, l'anno scorso mi è toccato fare lo stesso problema a $4$ termini in gara a squadre :D
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