Somma di binomiali

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Re: Somma di binomiali

Messaggioda Archimede » 13/12/2013, 21:23

Quinto:

[tex]{2n\choose 2} - 2{n\choose 2}=\frac{(2n)!}{(2n-2)!2}-2\frac{n!}{(n-2)!2}=n(2n-1)-n(n-1)=n^2[/tex]
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Re: Somma di binomiali

Messaggioda Gizeta » 13/12/2013, 21:42

Ok per il quarto.
Nel quinto (e sesto) richiede esplicitamente di sviluppare delle argomentazioni aventi a che fare con la combinatoria per dimostrare quelle identità, similmente a quello che hai fatto nel primo problema :mrgreen:
Ti consiglio di provare a farlo prima per il quarto problema, benché tu l'abbia già risolto algebricamente.
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Re: Somma di binomiali

Messaggioda Archimede » 13/12/2013, 21:45

Sesto (ci vuole più a scriverlo qui che a farlo :D):

[tex]{2n\choose {n+1}}+2{2n\choose n}+{2n\choose {n-1}}=2{2n\choose {n+1}}+2{2n\choose n}=[/tex]

[tex]=2(\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}+\frac{(2n)!}{n!n!})=2(\frac{(2n)!(n+1)^2+(2n)!n(n+1)}{(n+1)!(n+1)!})=[/tex]

[tex]=\frac{(2n)!2(n+1)(2n+1)}{(n+1)!(n+1)!}={2n+2\choose {n+1}}[/tex]
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Re: Somma di binomiali

Messaggioda Archimede » 13/12/2013, 21:48

Scusa Gizeta mentre hai scritto il tuo ultimo post io stavo facendo la dimostrazione del sesto algebricamente e non ho letto, quindi ora tento di farlo come il primo ;)
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Re: Somma di binomiali

Messaggioda afullo » 14/12/2013, 0:52

Archimede ha scritto:
Gizeta ha scritto:
Nella seconda non è molto chiaro un passaggio

[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^n k{n\choose k}=\sum_{k=0}^n (n-k){n\choose k}[/tex]

potresti spiegare perché è vero?



Ok, il ragionamento che ho fatto è il seguente:

Il primo membro equivale alla somma di tutti questi elementi

[tex]n\choose n[/tex] ... [tex]n\choose 2[/tex] [tex]n\choose 1[/tex]
[tex]n\choose n[/tex] ... [tex]n\choose 2[/tex]
.
.
[tex]n\choose n[/tex]

Mentre il secondo alla somma di questi:

[tex]n\choose 0[/tex] ... [tex]n\choose n-2[/tex] [tex]n\choose n-1[/tex]
[tex]n\choose 0[/tex] ... [tex]n\choose n-2[/tex]
.
.
[tex]n\choose 0[/tex]

Quindi l'equivalenza dovrebbe essere stata dimostrata per la seguente identità [tex]{n\choose k}={n\choose n-k}[/tex]

Più facilmente ancora, basta sostituire k con n-k, compreso l'indice nella sommatoria, con questo cambio che la lascia invariata: se k va da 0 ad n, allora anche n-k va da 0 ad n. In ordine inverso, ok, ma l'addizione è commutativa... :)
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Re: Somma di binomiali

Messaggioda Gizeta » 22/12/2013, 8:34

Ok, scrivo la soluzione del 4, del 5 e del 6 perché il primo è un classico e gli altri due sono interessanti.


Testo nascosto:
4) Immaginiamo di avere un insieme [tex]S[/tex] di [tex]n+1[/tex] oggetti di cui vogliamo prenderne [tex]k+1[/tex]. Uno degli [tex]n+1[/tex] oggetti è colorato di rosso.
Possiamo fare quel che vogliamo fare in due modi:

A- Prendo il pallino rosso e ne aggiungo [tex]k[/tex] dall'altro insieme, li scelgo in [tex]{n+1-1 \choose k}={n \choose k}[/tex] modi;

B- Non prendo il pallino rosso e prendo tutti i [tex]k+1[/tex] oggetti dai restanti, li scelgo in [tex]{n \choose k+1}[/tex] modi.

Tutti i modi di scegliere [tex]k+1[/tex] oggetti in un insieme di [tex]n+1[/tex] è [tex]{n+1 \choose k+1}[/tex], dunque ho la tesi (A+B=quello appena detto)


5) Abbiamo un insieme di [tex]2n[/tex] oggetti che al suo intero presenta due insieme disgiunti identici di [tex]n[/tex] oggett. Voglio prendere 2 oggetti, come lo faccio?
Due modi:

A- Prendo 2 oggetti da uno dei due sottoinsiemi, lo faccio in [tex]{n \choose 2}[/tex] modi, i sottinsiemi sono due, quindi [tex]2{n \choose 2};[/tex]

B- Prendo un oggetto da uno e uno dall'altro, lo faccio in [tex]n \cdot n =n^2[/tex] modi.


6) Ho un insieme di [tex]2n[/tex] elementi che al suo interno presenta due sottoinsiemi non disgiunti: l'intersezione presenta due elementi mentre le parti disgiunte ne contengono [tex]n[/tex] ciascuna e sono uguali fra loro. Voglio prendere n+1 oggetti, come posso farlo?
Tre modi:

A- Prendo n elementi dalle parti disgiunte (che considero come un unico insieme di 2n oggetti) e aggiungo un elemento dell'intersezione, quest'ultima ha due elementi quindi lo faccio in [tex]2{2n \choose n}[/tex];

B- Prendo [tex]n+1[/tex] elementi dalle sole parti disgiunte, lo faccio in [tex]{2n \choose n+1}[/tex] modi;

C- Prendo i due elementi dell'intersezione e ne aggiungo [tex]n-1[/tex] dalle parti disgiunte, lo faccio in [tex]{2n \choose n-1}[/tex] modi.
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