somma dei reciproci

Numeri interi, divisibilità, primalità, ed equazioni a valori interi.

somma dei reciproci

Messaggioda vmaestrella » 10/07/2017, 18:46

Determinare tutte le coppie $(x, y)$ di interi positivi che soddisfano l’equazione
$1/x+1/y=1/6$
vmaestrella
 
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Re: somma dei reciproci

Messaggioda Vinciii » 11/07/2017, 13:08

Testo nascosto:
Innanzitutto notiamo che $x$ e $y$ devono essere maggiori di $6$. Se risolviamo l'equazione in $x$ otteniamo $$x=\frac{6y}{y-6}$$ da cui sappiamo che $(y-6)\mid 6y$. Avremo $$x=\frac{6y}{y-6}=\frac{6y-36+36}{y-6}=6+\frac{36}{y-6}$$ che è intero solo se $(y-6)\mid 36$ e quindi i possibili casi sono $y-6=\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm9,\pm12,\pm18,\pm36$, ed escludendo i casi in cui $y-6$ è negativo, in quanto $y>6$ otteniamo $y=7,8,9,10,12,15,18,24,42$ che sostituiti danno tutte le coppie che sono risultato (già simmetrizzate), ovvero $(x,y)=(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12),(15,10),(18,9),(24,8),(42,7)$, che sono tutte le soluzioni.
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Re: somma dei reciproci

Messaggioda matpro98 » 11/07/2017, 14:43

Altrimenti si poteva iniziare così
Testo nascosto:
$xy=6x+6y $ e quindi $(x-6)(y-6)=36$, e da qui è tutto in discesa ricordando che $x,y \neq 0$
matpro98
 
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