Sempre dalla SL...

Tutti i problemi che presentino una figura (calcolo delle aree e dei perimetri, similitudini, allineamenti, concorrenze, ecc...)

Sempre dalla SL...

Messaggioda Giovanni98 » 03/09/2017, 17:46

Sia $ABC$ un triangolo iscoscele ma non equilatero di base $BC$. Sia $I$ l'incentro e sia $D$ il piede della bisettrice dell'angolo in $B$. Sia $J$ il simmetrico di $I$ rispetto $AC$ e $E$ l'intersezione fra $AI$ e la perpendicolare ad $AC$ passante per $D$. Dimostrare che $B,D,J,E$ costituiscono i vertici di un quadrilatero ciclico.
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Re: Sempre dalla SL...

Messaggioda pipotoninoster » 21/03/2018, 18:46

Allora...
Testo nascosto:
Dimostro che i triangoli [tex]EDJ[/tex] e [tex]BIJ[/tex] sono simili. Infatti [tex]\angle BIJ=\pi - JID= \pi -EDI=EDJ[/tex], sfruttando il fatto che le rette [tex]ED[/tex] e [tex]IJ[/tex] sono parallele e che [tex]I[/tex] e [tex]J[/tex] sono simmetrici rispetto [tex]AC[/tex]. Poi chiamo [tex]\theta=\angle BAH[/tex], dove [tex]H[/tex] è il punto medio di [tex]BC[/tex]. Con semplici osservazioni trigonometriche arrivo a:
[tex]ED=\frac{1}{\cos \theta (2\sin \theta +1)}[/tex], [tex]DJ=\frac{2\sin (\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})}{\cos \theta (2\sin \theta +1)}[/tex], [tex]BI=\frac{2\sin (\frac{\pi}{4}+\frac{3 \theta}{2})}{\cos \theta (2\sin \theta +1)}[/tex], [tex]IJ=\sin (\frac{\pi}{4}+\frac{3 \theta}{2})\frac{4\sin (\frac{\pi}{4}-\frac{\theta}{2})}{\cos \theta (2\sin \theta +1)}[/tex]. ora è facile vedere che [tex]\frac{ED}{DJ}=\frac{BI}{IJ}.[/tex]. Quindi i triangoli [tex]EDJ[/tex] e [tex]BIJ[/tex] sono simili.
Ne segue che [tex]\angle DEJ=\angle IBJ[/tex], cioè [tex]DEBJ[/tex]ciclico, cioè tesi.
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