Scacchiera bianca e nera

Esercizi sulla verità delle proposizioni e problemi che non sembrano rientrare in nessun'altra categoria.

Scacchiera bianca e nera

Messaggioda Toadino2 » 15/02/2015, 19:43

Qualcuno può controllarmi questo dimostrativo di Febbraio 2014?

"Una griglia con m righe ed n colonne ha ogni casella colorata in bianco o in nero in modo da rispettare le seguenti due condizioni:
Ogni riga contiene tante caselle bianche quante nere;
Se una riga incontra una colonna in una casella nera, allora quella riga e quella colonna hanno lo stesso numero di caselle nere; allo stesso modo, se una riga interseca una colonna in una casella bianca, allora quella riga e quella colonna hanno lo stesso numero di caselle bianche.
Trova tutte le possibili coppie m,n per cui può esistere una siffatta colorazione."
Testo nascosto:
Osserviamo che $n$ per ipotesi dev'essere pari e che detta $q_n$ la quantità di caselle nere e $q_b$ quella di bianche, sono entrambi $q_n=q_b=k=n/2$. Dunque è possibile colorare la scacchiera in modo che le colonne siano a tinta unita: per ciò, $m=\frac{n}{2}$, cioè $q_n$ e $q_b$. Dunque $n=2m$ è soluzione.
È soluzione anche $n=m$, in quanto se la scacchiera alterna continuamente i colori, tutte le righe e colonne avranno $q_n=q_b$, che tautologicamente è accettabile.
Ora osserviamo che in altri casi non ci sono soluzioni.
Esaminiamo prima il caso $\frac{n}{2}<m<n$; in tal caso, scegliendo una qualsiasi colonna (abbiamo già appurato che per tutte le righe $_n=q_b$) abbiamo che essa ha $q_n$ caselle nere (o bianche); dato che $q_n=\frac{n}{2}$, dev'esserci almeno una casella bianca; ma allora le caselle bianche devono essere $q_b$, ed allora $m=q_n+q_b=2k$, ed essendo $k=n/2$, $2k=n$, quindi $m=n$, il che va contro ciò che stavamo presupponendo.
Per lo stesso motivo $m>n$ è un caso impossibile, perché se $q_n+q_b=n$, avendo già appurato che per tutte le righe e colonne $q_n=q_b$, $m$, non può essere maggiore di tale somma.
Dunque le coppie ($m=\frac{n}{2},n$) ed ($m=n,n$) sono soluzioni. $c.v.d.$
C'è chi ha definito ogni persona come una guerriera della vita... ed allora ogni matematico combatte una guerra eterna contro i numeri per conquistarli: e più saremo in tanti a combattere tali battaglie, prima la vinceremo. Cit.Me
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Re: Scacchiera bianca e nera

Messaggioda Gerald Lambeau » 15/02/2015, 21:40

Controllando come davano il punteggio direi perfetta! :D
Comunque ho letto molte tue dimostrazioni in questi giorni, ti consiglio di essere leggermente più formale e di spiegare meglio alcuni fatti, poi utilizzando i termini adatti ti risparmi lunghi discorsi e rigiri di parole e faciliti il lavoro del correttore, che non potrà che esserne felice! :)
(comunque sono solo minuscoli dettagli, penso che solo per poche persone [come me] contino)
Ultima modifica di Gerald Lambeau il 15/02/2015, 22:04, modificato 1 volta in totale.
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Re: Scacchiera bianca e nera

Messaggioda Toadino2 » 15/02/2015, 21:45

Grazie! :D
E con questo... Il punteggio della mia ultima simulazione sale a... $51$ punti!!! :D col bonus $61$!!!
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Re: Scacchiera bianca e nera

Messaggioda Toadino2 » 16/02/2015, 7:19

Ma... esattamente cosa intenderesti con "più formale"?
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Re: Scacchiera bianca e nera

Messaggioda Gerald Lambeau » 16/02/2015, 14:57

Dovresti dire le cose in maniera meno colloquiale, qualcosa più da testo ufficiale, come ad esempio in un tema argomentativo, che è più formale di una lettera.
In matematica con formale si intende con frasi formulate il meglio possibile e senza troppi rigiri o tagli inadeguati.
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Re: Scacchiera bianca e nera

Messaggioda Toadino2 » 16/02/2015, 15:03

È che difficilmente mi vengono...
Le mie idee tendono tutte ad essere "concettuali" più che in termini matematici, e non è facilissimo convertirli...
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