Scacchiera $10 \times 10$

Calcolo combinatorio (disposizioni, permutazioni e combinazioni) e calcolo delle probabilità.

Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda Gerald Lambeau » 20/09/2015, 21:23

Dimostrare che non è possibile tassellare (sempre con le solite regole di rispettare le linee che delimitano i quadretti, non sovrapporre pezzi e non uscire dalla scacchiera) una scacchiera $10 \times 10$ con:
a) $25$ tasselli da quattro quadrati unitari con forma
XXX
$\, \,$X (a T insomma);
b) $25$ tasselli da quattro quadrati unitari con forma
XXXX (dritti per capirci).
"I matematici non realizzano nulla... semplicemente scoprono e dimostrano verità intrinseche riguardanti tutto ciò che esiste, ovvietà e banalità per una mente superiore, perfetta. Ed è quello il mio obiettivo!"
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda burt » 20/09/2015, 22:29

I 4 quandrati a t non ho capito come sono messi.. Come
fai a fare una t con 4 quadrati?
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda Gerald Lambeau » 20/09/2015, 23:02

Immagine
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda Gerald Lambeau » 20/09/2015, 23:02

Ruotando di 180° dovresti vedere una T.
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda burt » 20/09/2015, 23:46

Grazie , la mia idea di t era che il lato non diviso a metà dall altro è piu lungo.. Comunque si sono un po imbranato
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda Gerald Lambeau » 21/09/2015, 13:36

Tranquillo, anche noi ce la immaginiamo così la T, è che con 4 quadratini bisogna accontentarsi.
Comunque BONUS:
determinare se è possibile con $25$ pezzi da quattro quadratini disposti a L (la mossa del cavallo, penso si capisca) ed estendere questo e i precedenti casi a una scacchiera $n \times n$ per $n$ generico.
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda Giovanni98 » 22/09/2015, 12:05

a)
Testo nascosto:
Colorando la nostra scacchiera $10 \times 10$ nella maniera usuale in bianco e nero notiamo una cosa, ogni tassello ricopre esattamente tre caselle bianche e una nera, o tre caselle nere e una bianca. Supponiamo per assurdo che sia possibile tassellare la nostra scacchiera con i nostri pezzetti a forma di T. Denotiamo con $B$ l'insieme dei tasselli che coprono 3 caselle bianche e una nera e con $N$ l'insieme dei tasselli che coprono 3 caselle nere e una bianca. Notiamo che $|N| + |B| = 25$ e che quindi hanno diversa parità il che implica che $|N| \ne |B|$.Il numero di caselle bianche coperte dai tasselli dell'insieme $B$ è pari a $3|B|$ mentre il numero di caselle nere coperte vale $|B|$ , mentre il numero di caselle nere coperte dai tasselli dell'insieme $N$ è pari a $3|N|$ e quello delle caselle bianche vale $|N|$. Poiché in una scacchiera quadrata di lato pari il numero di caselle bianche è uguale a quello delle caselle nere , si deve avere $3|B| + |N| = 3|N|+|B| \iff 2|B| = 2|N| \iff |B| = |N|$ ma per quanto dimostrato prima, è una situazione che non si può verificare il che è una contraddizione.
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda burt » 22/09/2015, 14:08

EDIT : oltre che incomprensibile ho anche trovato un errore grosso , scusate Provo per quello con xxxx non la considero una dimostrazione vera e propia , è troppo indecente perfino per me però messa in mano a uno con esperienza e bravura (forse )lo può diventare
.
Testo nascosto:
consideriamo la scacchiera mentre la tasselliamo , fermiamoci prima che l ultimo quadratino 2x2 vengo anche solo parzialemente coperto , mancano alemno 2 pezzi prima che la tassellazzione sia finita , infatti se non fosse così il quadrato 2x2 con un pezzo non si può tassellare dunque non va bene , quindi ci sono almeno altre 4 caselle libere , caso 1) sono in riga : per quanto detto prima dopo aver coperto la riga rimane il quadratino e dunque è impossibile 2)sono due quadrati non adiacenti : una riga è copribile e poi rimangono due oppie di caselle affiancate sfalzate e dunque incopribili 3) sono una elle : se hanno in comune il lato corto della elle rimangono due righe sovrapposte da 5 e da 3 , quella da 5 si può parzialmente ricoprire quella da 3 no , se hanno il comune il lato lungo rimane un rett. Da 3x2 irricopribile e 2 quadretti adiacenti al lato lungo indi irricopribile , se si toccano per un solo quadratino rimangono il quadrato 2x2 e la elle che sono entrambi irricopribili quindi , impossibile ricoprire 4) sono due quadrati lontani per quanto detto prima è impossibile 5) sono di una qualsiasi forma senza lati in comune con il quadrato ,: il quadrato non è ricopribile dunque il tutto non è ricopribile 6)due quadrati adiacenti è possibile ricoprirli , ma ciò vuol dire che prima di essere ricoperti c erano 23 quadrati 2x2 ricoperti da 23 pezzi!:impossibile 22 saranno ricoperti da altrettante stanghette e 1 sarà irricopribile con 1 stanga ,quindi non si può tassellare una scacchiera di 10x10 con 25 pezzi a xxxx giusto per curiosità , sarebbe stato meglio se al posto di tutti i casi possibili scrivevo " l unica figura di 8 caselle ricopribili di cui 4 sono un quadrato 2x2 è ... ?
Ultima modifica di burt il 22/09/2015, 15:38, modificato 1 volta in totale.
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda Gerald Lambeau » 22/09/2015, 15:05

Corretta la a) Giovanni.
Mi dispiace burt, ma proprio non riesco a seguirti :( .
Potresti farmi il sunto di ciò che fai così magari rileggo seguendo quello e cerco di capire se funziona o no?
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Re: Scacchiera $10 \times 10$

Messaggioda polarized » 22/09/2015, 15:16

Variante di $a$
Testo nascosto:
Notiamo che ci sono lo stesso numero di caselle bianche e nere, di conseguenza per ogni tassello che ricopre tre caselle nere e una bianca ce ne sarà uno che ne ricopre due bianche e una nera, quindi dovrei poter tassellare $8$ caselle per volta ma 8 non divide 100


Dimostrazione di $b$
Testo nascosto:
Coloriamo la scacchiera per righe alternando righe bianche a righe nere. Chiaramente in ogni riga ci deve essere un numero di caselle ricoperto da tasselli in verticale che sia congruo a $2$ modulo $4$ per quasi ovvi motivi (EDIT: ovvero: per completarla con tasselli orizzontali serve che resti un numero di caselle multiplo di 4).
Osservazione 1: Il numero di tasselli in verticale deve essere pari poichè in ogni riga ne passano un numero pari.
Dimostrazione: Se per assurdo fossero in numero dispari contando quanti tasselli verticali "iniziano" in una riga ad un certo punto in una data riga troverei un numero dispari, il ché va contro l'ipotesi che in quella riga le caselle coperte da tasselli verticali fossero in numero congruo a 2 modulo 4 (se nelle righe precedente sono iniziati in un numero pari di tasselli in quella riga ce ne saranno un numero pari+1)

Osservazione 2: Ad ogni tassello orizzontale che occupa 4 caselle nere ne deve corrispondere uno che ne occupa 4 bianche, in quanto quelli verticali ne occupavano 2 bianche e 2 nere e quindi il numero di caselle da tassellare è rimasto suddiviso a metà tra bianche e nere.

Sia i pezzi in verticale che quelli in orizzontale devono essere in numero pari, ma i pezzi sono 25 quindi si ha un assurdo
"In geometria tutto con Pitagora, in algebra tutto con Tartaglia"
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